Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}+x y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=\sqrt[5]{x^{2}+x^{3}+x y^{2}}.
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois f é uma função composta de uma raiz de índice 5 com a expressão interna x^{2}+x^{3}+x y^{2}.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x,y)=x^{2}+x^{3}+x y^{2},
de modo que
f(x,y)=\bigl(g(x,y)\bigr)^{1/5}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de g:
\frac{\partial g}{\partial x} =2x+3x^{2}+y^{2}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y} =2x\,y.

Passo 4

Aplicamos a regra da cadeia para funções do tipo \bigl(g(x,y)\bigr)^{1/5}:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{5}\,g(x,y)^{-4/5}\,\frac{\partial g}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{5}\,g(x,y)^{-4/5}\,\frac{\partial g}{\partial y}.
Substituindo g e suas derivadas:

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2x+3x^{2}+y^{2}}{5\,\bigl(x^{2}+x^{3}+x y^{2}\bigr)^{4/5}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2x\,y}{5\,\bigl(x^{2}+x^{3}+x y^{2}\bigr)^{4/5}}.

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