Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
f(x, y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+x y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+x\,y}
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Vamos usar a regra da cadeia aplicando f(x,y)=(u(x,y))^{1/2}, onde
u(x,y)=x^{2}+y^{2}+x\,y.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, primeiro encontramos
\frac{\partial u}{\partial x}=2x+y.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\frac{2x+y}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+x\,y}}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}, primeiro encontramos
\frac{\partial u}{\partial y}=2y+x.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{1}{2\sqrt{u(x,y)}}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\frac{2y+x}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+x\,y}}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2x+y}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+x\,y}}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{2y+x}{2\sqrt{x^{2}+y^{2}+x\,y}}.

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