Calcule a derivada parcial de primeira ordem:
I=V / \sqrt{R^{2}+L^{2} \omega^{2}}, com V e \omega constante.

Passo 1

O enunciado nos dá
I = \frac{V}{\sqrt{R^{2} + L^{2}\,\omega^{2}}}
e pede a derivada parcial de primeira ordem em relação a R, mantendo V e \omega constantes. Para isso vamos usar a regra da cadeia e a derivada de potência, isto é,
\frac{d}{dR}\bigl(u(R)\bigr)^{-1/2} = -\tfrac12\,u(R)^{-3/2}\,\frac{du}{dR}.

Passo 2

Escrevemos I como potência de uma função de R:
I = V\;\bigl(R^{2} + L^{2}\,\omega^{2}\bigr)^{-\tfrac12}.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, primeiro identificamos
u(R) = R^{2} + L^{2}\,\omega^{2}, \quad u'(R) = \frac{du}{dR} = 2R.
Então
\frac{\partial I}{\partial R} = V \times \Bigl(-\tfrac12\Bigr)\,\bigl(u(R)\bigr)^{-\tfrac32}\times u'(R) = -\frac{V}{2}\,\bigl(R^{2}+L^{2}\omega^{2}\bigr)^{-\tfrac32}\times(2R).
Cancelando o 2 e reorganizando, obtemos
\frac{\partial I}{\partial R} = -\,\frac{V\,R}{\bigl(R^{2} + L^{2}\,\omega^{2}\bigr)^{3/2}}.

Resposta

\frac{\partial I}{\partial R} = -\,\frac{V\,R}{\bigl(R^{2} + L^{2}\,\omega^{2}\bigr)^{3/2}}.

Exercícios relacionados