Calcule a derivada do polinômio
pn(x)=sumk=0^n ak x^k
no qual ak são constantes reais. Identifique as propriedades da operação de derivação usadas durante o cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio dado por
pn(x) = sumk=0^n ak x^k
onde cada ak é uma constante real. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada desse polinômio em relação a x. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a regra da potência e a propriedade da linearidade da derivada, que nos permite derivar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o polinômio de forma mais clara:
pn(x) = a0 x^0 + a1 x^1 + a2 x^2 + dots + an x^n
Agora, vamos derivar cada termo individualmente. Lembrando que a derivada de x^k em relação a x é dada pela regra da potência:
ddx x^k = k x^k-1

Passo 3

Aplicando essa regra a cada termo do polinômio, temos:
  • A derivada de a0 x^0: Como x^0 = 1, a derivada é 0.
  • A derivada de a1 x^1: Usando a regra da potência, fica a1 cdot 1 cdot x^0 = a1.
  • A derivada de a2 x^2: Fica a2 cdot 2 cdot x^1 = 2a2 x.
  • E assim por diante, até o último termo.

Passo 4

Colocando tudo junto, a derivada do polinômio pn(x) fica:
pn'(x) = 0 + a1 + 2a2 x + 3a3 x^2 + dots + n an x^n-1
Podemos também escrever isso de forma compacta usando a soma:
pn'(x) = sumk=1^n k ak x^k-1

Passo 5

Durante esse processo, usamos as seguintes propriedades da operação de derivação:
  1. Linearidade da Derivada: A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  2. Regra da Potência: A derivada de x^k é k x^k-1.
  3. Constante Multiplicativa: A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.
Essas propriedades permitiram que a gente derivasse cada termo individualmente e somasse os resultados para obter a derivada completa do polinômio.

Resposta

A derivada do polinômio pn(x) é
pn'(x) = sumk=1^n k ak x^k-1

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