Calcule a derivada do polinômio
no qual
são constantes reais. Identifique as propriedades da operação de derivação usadas durante o cálculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um polinômio dado por
onde cada
é uma constante real. Nosso objetivo aqui é calcular a derivada desse polinômio em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas regras básicas de derivação, como a regra da potência e a propriedade da linearidade da derivada, que nos permite derivar termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o polinômio de forma mais clara:
Agora, vamos derivar cada termo individualmente. Lembrando que a derivada de
em relação a
é dada pela regra da potência:
Passo 3
Aplicando essa regra a cada termo do polinômio, temos:
- A derivada de
: Como , a derivada é . - A derivada de
: Usando a regra da potência, fica . - A derivada de
: Fica . - E assim por diante, até o último termo.
Passo 4
Colocando tudo junto, a derivada do polinômio
fica:
Podemos também escrever isso de forma compacta usando a soma:
Passo 5
Durante esse processo, usamos as seguintes propriedades da operação de derivação:
- Linearidade da Derivada: A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Regra da Potência: A derivada de
é . - Constante Multiplicativa: A derivada de uma constante multiplicada por uma função é a constante multiplicada pela derivada da função.
Essas propriedades permitiram que a gente derivasse cada termo individualmente e somasse os resultados para obter a derivada completa do polinômio.
Resposta
A derivada do polinômio
é