Calcule
onde
é a região limitada pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D (2x+y)² e^{x−y} dA, onde D é delimitada pelas retas 2x+y=1, 2x+y=4, x−y=−1 e x−y=1. Isso é um caso típico de troca de variáveis, usando u=2x+y e v=x−y, pois essas linhas ficam retas no plano (u,v) e simplificam a integral.
Passo 2
Definimos u=2x+y e v=x−y. Para aplicar a troca, precisamos expressar x e y em função de u e v. Resolvendo o sistema: u=2x+y e v=x−y, achamos x=(u+v)/3 e y=(u−2v)/3.
Passo 3
Calculamos o jacobiano da transformação (x,y)→(u,v). A matriz Jacobiana é
Então det(J)=−1/3 e |det(J)|=1/3. Logo dA = (1/3) du dv.
Passo 4
Agora mudamos a integral. O integrando (2x+y)² e^{x−y} vira u² e^v, e a região D em (u,v) é o retângulo 1≤u≤4 e −1≤v≤1. Assim
Passo 5
Podemos separar as variáveis e constantes:
Passo 6
Calculamos cada parte:
e
. Multiplicando tudo: