Calcule
integral duplaD(2 x+y)^2 e^x-y d A
onde D é a região limitada pelas retas 2 x+y=1,2 x+y=4, x-y=-1 e x-y=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla ∬_D (2x+y)² e^{x−y} dA, onde D é delimitada pelas retas 2x+y=1, 2x+y=4, x−y=−1 e x−y=1. Isso é um caso típico de troca de variáveis, usando u=2x+y e v=x−y, pois essas linhas ficam retas no plano (u,v) e simplificam a integral.

Passo 2

Definimos u=2x+y e v=x−y. Para aplicar a troca, precisamos expressar x e y em função de u e v. Resolvendo o sistema: u=2x+y e v=x−y, achamos x=(u+v)/3 e y=(u−2v)/3.

Passo 3

Calculamos o jacobiano da transformação (x,y)→(u,v). A matriz Jacobiana é
J=partial(x,y)partial(u,v)=1/3 & 1/31/3 & -2/3
Então det(J)=−1/3 e |det(J)|=1/3. Logo dA = (1/3) du dv.

Passo 4

Agora mudamos a integral. O integrando (2x+y)² e^{x−y} vira u² e^v, e a região D em (u,v) é o retângulo 1≤u≤4 e −1≤v≤1. Assim
integral duplaD(2x+y)^2 e^x-ydA=integralu=1^4integralv=-1^1 u^2 e^vcdot13,dv,du

Passo 5

Podemos separar as variáveis e constantes:
13l(integralu=1^4u^2dur)l(integralv=-1^1 e^v dvr)

Passo 6

Calculamos cada parte: integralu=1^4u^2du=[u^3/3]1^4=(64-1)/3=21 e integralv=-1^1 e^v dv=[e^v]-1^1=e-e^-1. Multiplicando tudo:
13cdot21cdot(e-e^-1)=7(e-e^-1)

Resposta

7(e-e^-1)

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