Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
f(x)=\arctan \left(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\arctan\!\biggl(\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\biggr).
Vamos usar a regra da cadeia, a derivada de \arctan, a derivada de raiz quadrada e a regra do quociente.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia para f(x)=\arctan(u), obtemos
f'(x)=\frac{1}{1+u^2}\,u',
onde definimos
u=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}.

Passo 3

Primeiro simplificamos o fator \frac{1}{1+u^2}:
\frac{1}{1+u^2} =\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1-x}{1+x}} =\frac{1+x}{(1+x)+(1-x)} =\frac{1+x}{2}.

Passo 4

Agora calculamos u', com u=(v)^{1/2} e v=\frac{1-x}{1+x}.
Usando a regra do quociente para v:
v'=\frac{(1-x)'(1+x)-(1-x)(1+x)'}{(1+x)^2} =\frac{-1\cdot(1+x)-(1-x)\cdot1}{(1+x)^2} =-\frac{2}{(1+x)^2}.
Em seguida, pela regra da cadeia para u=\sqrt{v}:
u'=\frac{v'}{2\sqrt{v}} =-\frac{1}{(1+x)^2\,\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}.

Passo 5

Multiplicando os fatores já obtidos:
f'(x) =\frac{1+x}{2}\times\Bigl(-\frac{1}{(1+x)^2\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}\Bigr) =-\frac{1}{2(1+x)\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}}.
Como \sqrt{\tfrac{1-x}{1+x}}=\tfrac{\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}}, temos
f'(x) =-\frac{1}{2\sqrt{1-x}\,\sqrt{1+x}} =-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.

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