Calcule a derivada f^{\prime}(x) de cada uma das funções abaixo:
(xv) f(x)=\left(x^{2}+1\right)^{\sin \left(x^{5}\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)^{\sin\bigl(x^{5}\bigr)}.
Para funções da forma \,g(x)^{h(x)}, é mais fácil usar diferenciação logarítmica, que combina regras da cadeia e do produto.

Passo 2

Aplicamos logaritmo em ambos os lados para simplificar a potência:
\ln f(x) = \sin\bigl(x^{5}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).

Passo 3

Derivamos em relação a x. À esquerda, pela regra da cadeia,
\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{d}{dx}\Bigl[\sin\bigl(x^{5}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\Bigr].
À direita, usamos a regra do produto, com
\displaystyle u(x)=\sin\bigl(x^{5}\bigr) e \displaystyle v(x)=\ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Primeiro,
u'(x) = \cos\bigl(x^{5}\bigr)\cdot 5x^{4},
e segundo,
v'(x) = \frac{1}{x^{2}+1}\cdot 2x = \frac{2x}{x^{2}+1}.
Logo,
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)v(x)\bigr] = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = 5x^{4}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \sin\bigl(x^{5}\bigr)\,\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Agora voltamos à derivada de f, multiplicando ambos os lados por f(x):
f'(x) = f(x)\,\Biggl[ 5x^{4}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac{2x\,\sin\bigl(x^{5}\bigr)}{x^{2}+1} \Biggr].
E como f(x)=(x^{2}+1)^{\sin(x^{5})}, temos a expressão final.

Resposta

f'(x) = (x^{2}+1)^{\sin(x^{5})}\!\Biggl[ 5x^{4}\cos\bigl(x^{5}\bigr)\,\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + \frac{2x\,\sin\bigl(x^{5}\bigr)}{x^{2}+1} \Biggr].

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