Determine se o limite da função f a seguir existe no ponto a dado; se for o caso, determine o seu valor. f(x)=x^2-4 x+3x-3, a=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limite em cálculo. A gente precisa descobrir se o limite da função existe quando se aproxima de 3, e, se existir, qual é o valor desse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir o valor de f(3) = 3^2 - 4 times 3 + 33 - 3 = 9 - 12 + 30 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
A gente obteve uma forma indeterminada . Isso significa que não podemos concluir diretamente qual é o limite apenas substituindo por 3.

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) , uma técnica útil é simplificar a função. Vamos fatorar o numerador para ver se conseguimos cancelar algum fator com o denominador.
O numerador é f(x) = (x - 1)(x - 3)x - 3 . Vamos fatorar:
Então, a função fica:

Passo 4

Agora, podemos simplificar a função cancelando o fator f(x) = (x - 1)cancel(x - 3)cancelx - 3 = x - 1 que está no numerador e no denominador:
Mas atenção: essa simplificação só é válida para , porque no ponto a função original não está definida.

Passo 5

Agora que simplificamos a função para limx to 3 f(x) = limx to 3 (x - 1) = 3 - 1 = 2 (quando ), podemos calcular o limite de quando se aproxima de 3 substituindo diretamente:

Resposta

O limite da função quando se aproxima de 3 existe e é igual a 2.

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