Determine se o limite da função
a seguir existe no ponto a dado; se for o caso, determine o seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limite em cálculo. A gente precisa descobrir se o limite da função
existe quando
se aproxima de 3, e, se existir, qual é o valor desse limite.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir o valor de
diretamente na função para ver o que acontece:
A gente obteve uma forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir diretamente qual é o limite apenas substituindo
por 3.
Passo 3
Quando encontramos uma forma indeterminada
, uma técnica útil é simplificar a função. Vamos fatorar o numerador para ver se conseguimos cancelar algum fator com o denominador.
O numerador é
. Vamos fatorar:
Então, a função fica:
Passo 4
Agora, podemos simplificar a função cancelando o fator
que está no numerador e no denominador:
Mas atenção: essa simplificação só é válida para
, porque no ponto
a função original não está definida.
Passo 5
Agora que simplificamos a função para
(quando
), podemos calcular o limite de
quando
se aproxima de 3 substituindo diretamente:
Resposta
O limite da função
quando
se aproxima de 3 existe e é igual a 2.