Considere a seguinte função
f(x)= x^2-1 & se x >= 1 3 x-3 & se x<1
Determine se f é derivável em a=1.

Passo 1

A questão apresenta a função definida em partes: f(x)=x^2-1 se x>=1 e f(x)=3x-3 se x<1. O conteúdo é derivabilidade de função por partes, e vamos precisar usar a definição de continuidade e as derivadas laterais em a=1.

Passo 2

Para que f seja derivável em x=1, primeiro ela precisa ser contínua lá. Ou seja, devemos verificar se
limxto1^-f(x)=f(1)=limxto1^+f(x)

Passo 3

Calculando os valores:
f(1)=1^2-1=0,
limxto1^-f(x)=3cdot1-3=0,
limxto1^+f(x)=1^2-1=0
Como todos são iguais a 0, f é contínua em x=1.

Passo 4

Agora vamos às derivadas laterais em x=1. A derivada lateral à esquerda é
f'(1^-)=ddx(3x-3)|x=1=3,
e a derivada lateral à direita é
f'(1^+)=ddx(x^2-1)|x=1=2x|x=1=2
Como f'(1^-)=3 e f'(1^+)=2 são diferentes, a derivada em x=1 não existe.

Resposta

A função não é derivável em a=1, pois as derivadas laterais são 3 e 2, diferentes entre si.

Exercícios relacionados