Calcule a derivada ( f^prime(x) ) das funções abaixo:
f(x)=cos (3 x+1)x^2+3.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=cosl(3x+1r)x^2+3
O conteúdo que vamos usar envolve a regra do quociente, a regra da cadeia e as derivadas básicas de cos(u) e de x^2+3.

Passo 2

Lembrando a regra do quociente: se
f(x)=u(x)v(x),
então
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Aqui temos
u(x)=cosl(3x+1r) e v(x)=x^2+3

Passo 3

Calculamos u'(x) usando a regra da cadeia:
a derivada de cos(u) é -sin(u)cdot u'.
Como u=3x+1 tem u'=3, obtemos
u'(x)=-sinl(3x+1r)cdot3=-3sinl(3x+1r)

Passo 4

Calculamos v'(x):
v(x)=x^2+3 Longrightarrow v'(x)=2x

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
f'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =l(-3sin(3x+1)r),(x^2+3)-cos(3x+1),(2x)(x^2+3)^2
Podemos escrever de forma mais organizada:
f'(x) =-3(x^2+3)sin(3x+1)-2xcos(3x+1)(x^2+3)^2

Resposta

f'(x) =-3(x^2+3)sinl(3x+1r)-2xcosl(3x+1r)(x^2+3)^2

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