1. Seja f(x)=3 x+1x-1. Determine todas as retas tangentes ao gráfico de f que passam pelo ponto (0,0). Resp.: y=-9 x ; y=-x
  2. Sejam f: R R uma função derivável até 2^ a ordem e g: R R dada por g(x)=x f(x+1+sen 2 x). Calcule g^prime prime(x). Supondo f^prime(1)=-2, calcule g^prime prime(0).
Resp.: -12.

Passo 1

Questão 13: O enunciado dá a função
f(x)=3x+1x-1
e pede todas as retas tangentes ao seu gráfico que passam por (0,0). O conteúdo aqui é derivada e equação da reta tangente.

Passo 2

Calculamos a derivada de f usando quociente:
f'(x) =(3)(x-1)-(3x+1)cdot1(x-1)^2 =3x-3-3x-1(x-1)^2 =-4(x-1)^2

Passo 3

Em um ponto a, a reta tangente é
y - f(a) = f'(a),(x - a)
Para que ela passe em (0,0) devemos ter
0 - f(a) = f'(a),(0 - a) Longrightarrow f(a)=a,f'(a)

Passo 4

Substituindo f(a) e f'(a):
3a+1a-1 = acdot-4(a-1)^2 ;Longrightarrow; (3a+1)(a-1)=-4a
Expandindo:
3a^2-2a-1=-4a ;Longrightarrow; 3a^2+2a-1=0 ;Longrightarrow; a=-2pmraiz166=13,,-1

Passo 5

Para a=tfrac13, o coeficiente angular é
m=f'l(tfrac13r) =-4(tfrac13-1)^2 =-9,
logo reta y=-9x.
Para a=-1,
m=f'(-1) =-4(-2)^2 =-1,
logo reta y=-x.

Passo 6

Questão 14: Define-se
com duas vezes derivável. Primeiro calculamos e depois , usando regra do produto e cadeia.

Passo 7

Seja . Então
e
Logo

Passo 8

Derivando novamente:
No termo aplicamos produto triplo e cadeia, resultando

Passo 9

Para temos , , , então e os termos com somam zero. Assim
Como , obtemos .

Resposta

Questão 13: as retas são
Questão 14:
e

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