2 ( 2,0 pts.) Determine a equação da reta tangente à curva dada por y=3 x^2-2 x que é perpendicular à reta y=-x

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = 3x^2 - 2x
que seja perpendicular à reta
y = -x
Para isso, vamos precisar de:
  1. O coeficiente angular da reta dada.
  2. A inclinação da reta tangente (derivada de y).
  3. A condição de perpendicularidade entre retas.
  4. O ponto de tangência na curva.
  5. Montar a equação da reta tangente.

Passo 2

A reta y=-x tem coeficiente angular -1.
Duas retas são perpendiculares se o produto dos coeficientes angulares é -1.
Seja mt o coeficiente angular da tangente; então
mtcdot(-1) = -1
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mt = 1

Passo 3

A inclinação da reta tangente é dada por y'=f'(x). Para f(x)=3x^2-2x,
f'(x) = ddx(3x^2-2x) = 6x - 2
Impondo f'(x)=mt=1,
6x - 2 = 1 Longrightarrow 6x = 3 Longrightarrow x = tfrac12

Passo 4

O ponto de tangência l(x0,y0r) está em x0=tfrac12. Calculamos
y0 = 3l(tfrac12r)^2 - 2l(tfrac12r) = 3cdottfrac14 - 1 = tfrac34 - 1 = -tfrac14

Passo 5

A equação da reta tangente no ponto l(tfrac12,-tfrac14r) com coeficiente angular mt=1 é
y - y0 = mtl(x - x0r)
y + tfrac14 = 1l(x - tfrac12r)
y = x - tfrac12 - tfrac14
y = x - tfrac34

Resposta

A equação da reta tangente procurada é
y = x - tfrac34

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