Calcule a derivada y^prime, onde y=f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela equação cos (x) y^4+2 y=3 x.

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita cos(x),y^4 + 2y = 3x e pede y'. Vamos usar derivação implícita, aplicando a regra do produto e a regra da cadeia para derivar cos(x),y^4.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddxl(cos(x),y^4r) + ddx(2y) = ddx(3x)

Passo 3

Pela regra do produto e da cadeia:
$$\frac{d}{dx}\bigl(\cos(x),y^4\bigr) = -\sin(x),y^4 + \cos(x),\bigl(4y^3,y

Passo 4

, e \frac{d}{dx}(2y) = 2y’,\quad \frac{d}{dx}(3x)=3.$$

Passo 5

Substituindo na equação:
-sin(x),y^4 + 4cos(x),y^3,y' + 2y' = 3

Passo 6

Agrupando os termos com y':
(4cos(x),y^3 + 2),y' = 3 + sin(x),y^4

Passo 7

Isolando y':

Resposta

y' = 3 + sin(x),y^44cos(x),y^3 + 2

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