Considere a função
. (As raízes desse polinômio são aproximadamente -2,53; - 1,35 e 0,88). Determine:
Pontos de máximo e mínimo locais de
.
Passo 1
A questão dá a função f(x) = –x³ – 3x² + 3 e pede os pontos de máximo e mínimo locais. É conteúdo de cálculo de derivadas e extremos, e vamos precisar da derivada primeira para achar pontos críticos e da derivada segunda para classificar cada um.
Passo 2
Vamos calcular a derivada primeira f’(x). A derivada de –x³ é –3x², e a de –3x² é –6x. Assim temos:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f’(x) = 0. Fatorando:
Isso dá as raízes x = 0 e x = -2.
Passo 4
Agora usamos a segunda derivada para classificar cada ponto. A segunda derivada é a derivada de f’(x):
Avaliaremos em x = 0 e x = -2.
Passo 5
Em x = 0 temos f’’(0) = -6·0 - 6 = -6 < 0, logo f tem um ponto de máximo local em x = 0. Em x = -2 temos f’’(-2) = -6·(-2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0, logo há um ponto de mínimo local em x = -2.
Passo 6
Faltam só as coordenadas exatas. Calculando f(0) e f(-2):
f(0) = –0³ – 3·0² + 3 = 3
f(-2) = –(–2)³ – 3·(–2)² + 3 = –(–8) – 3·4 + 3 = 8 – 12 + 3 = –1
f(0) = –0³ – 3·0² + 3 = 3
f(-2) = –(–2)³ – 3·(–2)² + 3 = –(–8) – 3·4 + 3 = 8 – 12 + 3 = –1
Resposta
Máximo local em (0, 3) e mínimo local em (–2, –1).