Considere a função f(x)=-x^3-3 x^2+3. (As raízes desse polinômio são aproximadamente -2,53; - 1,35 e 0,88). Determine:
(0 , 4 p t s) Intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Passo 1

Resumo do problema: Temos a função f(x)=-x^3-3x^2+3, e o objetivo é identificar os intervalos em que ela cresce ou decresce. Esse é um exercício de cálculo diferencial que usa o teste da derivada: se f'(x)>0, f é crescente; se f'(x)<0, f é decrescente.

Passo 2

Para encontrar a derivada, aplicamos a regra de potência ( d(x^n)/dx=n x^n-1). Assim,
f'(x)=ddx(-x^3)-ddx(3x^2)+ddx(3)=-3x^2-6x+0=-3x^2-6x

Passo 3

Os pontos críticos vêm de resolver f'(x)=0:
-3x^2-6x=0Longrightarrow -3x(x+2)=0Longrightarrow x=0 ou x=-2

Passo 4

Agora fazemos o teste de sinais em cada intervalo formado pelos pontos críticos:
  • Em ,,-2)), tomo (-x1b[1m∞: x=-3.
  • Em f'(-3)=-3cdot9+18=-9<0, tomo (-2,0): x=-1.
  • Em f'(-1)=-3cdot1+6=3>0, tomo (0,∞): x=1.

Passo 5

Com isso vemos que f'(x) é negativo nos intervalos externos e positivo entre -2 e 0, indicando decrescimento e crescimento respectivamente.

Resposta

f é crescente em (-2,0) e decrescente em ( -∞,-2)cup(0,∞).

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