(1, 5) Seja g(r, s)=r^2 f(2 r^2+s^2, r-s), onde f(x, y) é uma função de classe C^1 em R^2 a valores reais. Calcule partial gpartial r(r, s) e partial gpartial s(r, s) em termos das derivadas parciais de f.

Passo 1

O enunciado define
g(r,s)=r^2,fl(2r^2+s^2,,r-sr),
onde f(x,y) é de classe C^1. Precisamos usar o regra do produto e a regra da cadeia para funções de duas variáveis.

Passo 2

Para calcular partial gpartial r, note que g(r,s)=r^2,h(r,s) com
h(r,s)=fl(x(r,s),y(r,s)r), x(r,s)=2r^2+s^2, y(r,s)=r-s
Pela regra do produto,
partial gpartial r =2r,h(r,s)+r^2,partial hpartial r
Agora, pela regra da cadeia,
partial hpartial r =fx(x,y),partial xpartial r +fy(x,y),partial ypartial r,
onde
partial xpartial r=4r, partial ypartial r=1
Substituindo em partial gpartial r, obtemos
partial gpartial r =2r,f(2r^2+s^2,,r-s) +r^2l[4r,fx(2r^2+s^2,,r-s)+1cdot fy(2r^2+s^2,,r-s)r]

Passo 3

Para calcular partial gpartial s, r^2 é constante em relação a s, então
partial gpartial s =r^2,partial hpartial s
Novamente pela regra da cadeia,
partial hpartial s =fx(x,y),partial xpartial s +fy(x,y),partial ypartial s,
onde
partial xpartial s=2s, partial ypartial s=-1
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partial gpartial s =r^2l[2s,fx(2r^2+s^2,,r-s)-fy(2r^2+s^2,,r-s)r]

Resposta

partial gpartial r(r,s) =2r,f(2r^2+s^2,,r-s) +r^2l[4r,fx(2r^2+s^2,,r-s) +fy(2r^2+s^2,,r-s)r],
partial gpartial s(r,s) =r^2l[2s,fx(2r^2+s^2,,r-s) -,fy(2r^2+s^2,,r-s)r]

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