Calcule a derivada de primeira ordem cada uma das funções a seguir.
y=[ln (x^2+1)]^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
y = l[lnl(x^2+1r)r]^3
Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que é aplicada quando temos uma função composta (aqui, um cubo de um logaritmo).

Passo 2

Definimos a função interna
u = lnl(x^2+1r)
e a externa
y = u^3
Pela regra da cadeia,
dydx = dydu,dudx,
sendo
dydu = 3,u^2

Passo 3

Agora calculamos
dudx,
sabendo que u=ln(v) com v=x^2+1. Temos
dvdx=2x
e
ddvln(v)=1v,
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dudx = 1v,dvdx = 1x^2+1;2x = 2xx^2+1

Passo 4

Substituindo em dydx = 3u^2,dudx e voltando a u=ln(x^2+1), temos
dydx = 3l[ln(x^2+1)r]^2;2xx^2+1 = 6x,[ln(x^2+1)]^2x^2+1

Resposta

dydx = 6x,[ln(x^2+1)]^2x^2+1

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