Resolva os seguintes exercícios usando logaritmos.
Encontre x tal que 5^x+2=25^x-4;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
5^x + 2 = 25^x - 4
usando logaritmos. Vamos precisar usar propriedades de potências (em particular 25^x=(5^2)^x) e, depois, reduzir a um polinômio em uma nova variável para encontrar x.

Passo 2

Reescrevemos 25^x como (5^2)^x=5^2x. Assim a equação fica
5^x + 2 = 5^2x - 4
e, ao passar tudo para um lado, obtemos
5^2x - 5^x - 6 = 0

Passo 3

Fazemos a troca de variável y = 5^x, que é sempre positiva. A equação em y é
y^2 - y - 6 = 0
Resolvendo essa quadrática:
y = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52,
logo as raízes são y=3 e y=-2.

Passo 4

Como y=5^x>0, descartamos y=-2 e ficamos com 5^x=3. Aplicando logaritmo em qualquer base (por exemplo natural),
x = ln 3ln 5

Resposta

x = ln 3ln 5

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