Calcule a derivada de primeira ordem cada uma das funções a seguir.
m(x)=ln (cos raizx1+sin raizx)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
m(x)=ln!l(cosraizx1+sinraizxr)
O conteúdo principal aqui é uso da regra da cadeia e das derivadas de ln u, cos u e sin u.

Passo 2

Primeiro reescrevemos m(x) como diferença de logaritmos:
m(x)=lnl(cosraizxr)-lnl(1+sinraizxr)

Passo 3

Calcular ddxlnl(cosraizxr). Seja u=raizx, então u'=tfrac12raizx. Usando regra da cadeia:
ddxln(cos u) =1cos ucdotl(-sin ur)cdot u' =-sin ucos u,u' =-tan u;u'

Passo 4

Calcular ddxlnl(1+sinraizxr). Com o mesmo u=raizx:
ddxln(1+sin u) =11+sin ucdotcos ucdot u' =cos u1+sin u;u'

Passo 5

Agora juntamos as duas derivadas:
m'(x) =-tan u;u';-;cos u1+sin u;u' =u'l(-tan u-cos u1+sin ur)
Colocando tan u=tfracsin ucos u e u'=tfrac12raizx, obtemos
-tan u-cos u1+sin u =-sin ucos u-cos u1+sin u =-sin u,(1+sin u)+cos^2ucos u,(1+sin u) =-1+sin ucos u,(1+sin u) =-1cos u
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m'(x) =12raizxl(-1cos ur) =-12raizx,cos(raizx)

Resposta

m'(x)=-12raizx,cosl(raizxr)

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