Calcule a derivada de primeira ordem cada uma das funções a seguir.
y=ln [raiz1-x+raiz1+xraiz1-x-raiz1+x-raiz1-x^2x]

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem da função
y = ln!gl[raiz1 - x + raiz1 + xraiz1 - x - raiz1 + x ;-;raiz1 - x^2xgr]
Aqui vamos usar: regra da cadeia para ln(u), isto é
ddxln(u) = u'u,
e também simplificar a expressão interna antes de derivar.

Passo 2

Defina
A = raiz1 - x + raiz1 + xraiz1 - x - raiz1 + x e B = raiz1 - x^2x
Primeiro simplificamos A: multiplique numerador e denominador de A por raiz1 - x + raiz1 + x, obtendo
A = (raiz1 - x + raiz1 + x)^2(1 - x)-(1 + x) = 1 - x + 1 + x + 2raiz1 - x^2-2x = -,1 + raiz1 - x^2x

Passo 3

Agora calcule
A - B = -1 + raiz1 - x^2x ;-;raiz1 - x^2x = -1 + 2raiz1 - x^2x
Logo a função fica
y = ln!l[-,tfrac1 + 2raiz1 - x^2xr]

Passo 4

Para facilitar a derivada, reescreva
y = lnl(1 + 2raiz1 - x^2r) ;-;lnl(-xr)
Aqui usamos que ln(-a) = ln(a) mais uma constante, e sua derivada é dfracddx[-ln(-x)] = -tfrac1x

Passo 5

Calcule a derivada do primeiro termo. Seja
f(x) = 1 + 2raiz1 - x^2,
então
f'(x) = 2cdot12raiz1 - x^2,(-2x) = -2xraiz1 - x^2
Logo
ddxlnl(1 + 2raiz1 - x^2r) = f'(x)f(x) = -2xraiz1 - x^2l(1 + 2raiz1 - x^2r)

Passo 6

Agora combine com o segundo termo. A derivada de -ln(-x) é -tfrac1x. Portanto
y' = -2xraiz1 - x^2l(1 + 2raiz1 - x^2r) ;-;1x

Resposta

y' = -2xraiz1 - x^2,l(1 + 2raiz1 - x^2r) ;-;1x

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