Calcule a derivada de primeira ordem cada uma das funções a seguir.
y=(x^2+cot x^2)^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada de primeira ordem de
y = l(x^2 + cot(x^2)r)^3
O conteúdo principal é a regra da cadeia para função composta e a derivada de cot u, que é -csc^2ucdot u'.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x) = x^2 + cot(x^2)
Vamos calcular u'(x). Por linearidade,
ddxl(x^2r) = 2x,
e como ddx[cot v] = -csc^2vcdot v' e v=x^2, temos
ddxl(cot(x^2)r) = -csc^2(x^2)cdotddx(x^2) = -csc^2(x^2)cdot 2x = -2x,csc^2(x^2)
Logo,
u'(x) = 2x - 2x,csc^2(x^2) = 2xl(1 - csc^2(x^2)r)

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em
y = [u(x)]^3.
Sabemos que
ddxl[u(x)r]^3 = 3,[u(x)]^2,cdot u'(x)

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) no resultado da cadeia, obtemos
dydx = 3l(x^2 + cot(x^2)r)^2 cdotl[2x,(1 - csc^2(x^2))r]
Podemos escrever de forma mais compacta:
dydx = 6x,(1 - csc^2(x^2)), l(x^2 + cot(x^2)r)^2

Resposta

dydx = 6x,(1 - csc^2(x^2)), l(x^2 + cot(x^2)r)^2

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