Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
Passo 1
Vamos lá! Você me pediu para calcular a derivada de primeira ordem da função $ f(t) = \frac{t + 3}{t^{2} + t - 2} $. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são frações onde o numerador e o denominador são funções diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso de $ f(t) = \frac{t + 3}{t^{2} + t - 2} $:
- Numerador (
): $ t + 3 $ - Denominador (
): $ t^{2} + t - 2 $
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função $ f(t) = \frac{u(t)}{v(t)} $, a derivada $ f’(t) $ é dada por:
Isso significa que precisamos derivar $ u(t) $ e $ v(t) $ separadamente.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de $ u(t) $ e de $ v(t) $:
- Derivada de $ u(t) = t + 3 $:
- Derivada de $ v(t) = t^{2} + t - 2 $:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
Passo 6
Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos cada parte:
Agora, subtraímos:
Passo 7
Então, a derivada fica:
Podemos fatorar o numerador para simplificar, se possível. Vamos tentar fatorar
:
Colocando o sinal negativo:
Portanto:
Resposta
A derivada de primeira ordem da função é: