Calcule a derivada de primeira ordem das seguintes funções:
f(t)=t+3t^2+t-2

Passo 1

Vamos lá! Você me pediu para calcular a derivada de primeira ordem da função $ f(t) = \frac{t + 3}{t^{2} + t - 2} $. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar funções que são frações onde o numerador e o denominador são funções diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso de $ f(t) = \frac{t + 3}{t^{2} + t - 2} $:
  • Numerador ( f(t) = t + 3t^2 + t - 2 ): $ t + 3 $
  • Denominador ( u(t)): $ t^{2} + t - 2 $

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a regra do quociente. Se temos uma função $ f(t) = \frac{u(t)}{v(t)} $, a derivada $ f’(t) $ é dada por:
f(t) = u(t)v(t)
Isso significa que precisamos derivar $ u(t) $ e $ v(t) $ separadamente.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ u(t) $ e de $ v(t) $:
  • Derivada de $ u(t) = t + 3 $:
u(t)
  • Derivada de $ v(t) = t^{2} + t - 2 $:
v(t)

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
f'(t) = u'(t) cdot v(t) - u(t) cdot v'(t)[v(t)]^2 = 1 cdot (t^2 + t - 2) - (t + 3) cdot (2t + 1)(t^2 + t - 2)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos cada parte:
1 cdot (t^2 + t - 2) = t^2 + t - 2
(t + 3) cdot (2t + 1) = 2t^2 + t + 6t + 3 = 2t^2 + 7t + 3
Agora, subtraímos:
t^2 + t - 2 - (2t^2 + 7t + 3) = t^2 + t - 2 - 2t^2 -7t -3 = -t^2 -6t -5

Passo 7

Então, a derivada fica:
f'(t) = -t^2 -6t -5 (t^2 + t - 2)^2
Podemos fatorar o numerador para simplificar, se possível. Vamos tentar fatorar -t^2 -6t -5:
Colocando o sinal negativo:
-t^2 -6t -5 = - (t^2 + 6t + 5) = - (t + 1)(t + 5)
Portanto:
f'(t) = - (t + 1)(t + 5)(t^2 + t - 2)^2

Resposta

A derivada de primeira ordem da função é:
f'(t) = -t^2 -6t -5 (t^2 + t - 2)^2 = -,(t + 1)(t + 5)(t^2 + t - 2)^2

Exercícios relacionados