Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
g(x)=\frac{3 x-1}{2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada primeira e a derivada segunda da função racional
g(x)=\frac{3x-1}{2x+1}.
Para isso vamos usar a regra do quociente, que diz que, se g(x)=\tfrac{u(x)}{v(x)}, então
g'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.

Passo 2

Definimos
u(x)=3x-1,\quad v(x)=2x+1.
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u'(x)=3,\quad v'(x)=2.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
g'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{3\,(2x+1)-(3x-1)\,2}{(2x+1)^2}.

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
3\,(2x+1)-(3x-1)\,2 =6x+3-6x+2 =5.
Portanto
g'(x)=\frac{5}{(2x+1)^2}.

Passo 5

Para achar g''(x), derivamos g'(x)=5\,(2x+1)^{-2}. Usando a regra da cadeia:
g''(x) =5\cdot(-2)(2x+1)^{-3}\cdot\frac{d}{dx}(2x+1) =5\cdot(-2)(2x+1)^{-3}\cdot2 =-20\,(2x+1)^{-3},
ou seja
g''(x)=-\frac{20}{(2x+1)^3}.

Resposta

g'(x)=\frac{5}{(2x+1)^2}, \qquad g''(x)=-\frac{20}{(2x+1)^3}.

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