Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
y=\frac{\mathrm{e}^{x}}{1+x}

Passo 1

A gente quer achar y' e y'' para
y = \frac{e^x}{1+x}.
Como é um quociente, fica mais tranquilo reescrever
y = e^x\,(1+x)^{-1}
e usar a regra do produto junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Defina
u = e^x, \quad v = (1+x)^{-1}.
Então
u' = e^x, \quad v' = -1\cdot(1+x)^{-2}.
Aplicando a regra do produto,
y' = u'v + uv' = e^x\,(1+x)^{-1} \;-\; e^x\,(1+x)^{-2}.

Passo 3

Para simplificar, fatoramos e^x(1+x)^{-2}:
y' = e^x(1+x)^{-2)\bigl[(1+x)-1\bigr] = \frac{e^x\,x}{(1+x)^2}.

Passo 4

Agora vamos derivar
y' = e^x\,x\,(1+x)^{-2}.
Chame
A = e^x\,x, \quad B = (1+x)^{-2}.
Então
A' = \frac{d}{dx}(e^x x) = e^x x + e^x = e^x(x+1),
B' = -2\,(1+x)^{-3}.
Pela regra do produto,
y'' = A'B + A B' = e^x(x+1)(1+x)^{-2} \;-\;2\,e^x x\,(1+x)^{-3}.

Passo 5

Colocando tudo sobre o mesmo denominador (1+x)^3,
y'' = \frac{e^x(x+1)^2 - 2\,e^x x}{(1+x)^3} = \frac{e^x\bigl((x+1)^2 - 2x\bigr)}{(1+x)^3} = \frac{e^x(x^2+1)}{(1+x)^3}.

Resposta

y' = \frac{e^x\,x}{(1+x)^2}, \qquad y'' = \frac{e^x\bigl(x^2+1\bigr)}{(1+x)^3}.

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