Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
g(x)=\left(2 r a^{r x}+n\right)^{p}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
g(x)=\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p}\,.
O conteúdo envolvido é aplicação da regra da cadeia para potência e exponencial, e em seguida o produto para a segunda derivada.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=2r\,a^{r x}+n,
de modo que
g(x)=\bigl(u(x)\bigr)^{p}.
Pela regra da cadeia,
g'(x)=p\bigl(u(x)\bigr)^{p-1}\,u'(x).

Passo 3

Calculamos u'(x). Como u(x)=2r\,a^{r x}+n, e \frac{d}{dx}a^{r x}=a^{r x}\,r\ln(a), temos
u'(x)=2r\cdot a^{r x}\,r\ln(a)=2r^{2}\ln(a)\,a^{r x}.

Passo 4

Substituindo em g'(x):
g'(x) =p\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-1}\cdot\bigl(2r^{2}\ln(a)\,a^{r x}\bigr) =2p\,r^{2}\ln(a)\;a^{r x}\,\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-1}.

Passo 5

Para g''(x), vemos
g'(x)=A(x)\,B(x),
onde
A(x)=2p\,r^{2}\ln(a)\;a^{r x}, \quad B(x)=\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-1}.
Usamos a regra do produto:
g''(x)=A'(x)B(x)+A(x)B'(x).

Passo 6

Calculamos as derivadas de A e B:
A'(x) =2p\,r^{2}\ln(a)\;\bigl(a^{r x}\,r\ln(a)\bigr) =2p\,r^{3}(\ln(a))^{2}\,a^{r x},
B'(x) =(p-1)\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-2}\cdot\bigl(2r^{2}\ln(a)\,a^{r x}\bigr) =2(p-1)\,r^{2}\ln(a)\;a^{r x}\,\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-2}.
Logo
g''(x) =2p\,r^{3}(\ln(a))^{2}\,a^{r x}\,\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-1} +2p\,r^{2}\ln(a)\,a^{r x}\,\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-2}\, \bigl[2(p-1)\,r^{2}\ln(a)\,a^{r x}\bigr].

Passo 7

Fatorando em comum 2p\,r^{2}(\ln(a))^{2}a^{r x}(2r\,a^{r x}+n)^{p-2}, obtém-se
g''(x) =2p\,r^{2}(\ln(a))^{2}a^{r x}\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-2} \bigl[r(2r\,a^{r x}+n)+2(p-1)r^{2}a^{r x}\bigr]
e simplificando o colchete:
r(2r\,a^{r x}+n)+2(p-1)r^{2}a^{r x} =(p+1)r^{2}a^{r x}+r n.
Portanto
g''(x) =2p\,r^{3}(\ln(a))^{2}a^{r x}\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-2} \bigl((p+1)r\,a^{r x}+n\bigr).

Resposta

g'(x)=2p\,r^{2}\ln(a)\;a^{r x}\,\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-1},
g''(x) =2p\,r^{3}(\ln(a))^{2}a^{r x}\,\bigl(2r\,a^{r x}+n\bigr)^{p-2} \bigl((p+1)r\,a^{r x}+n\bigr).

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