Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
g(x)=\left(x^{2}+1\right)^{3}\left(x^{2}+2\right)^{6}

Passo 1

O enunciado pede a primeira e a segunda derivadas de
g(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}\,\bigl(x^{2}+2\bigr)^{6}.
Aqui vamos usar as regras de derivação: a regra do produto e a regra da cadeia (para potências de função).

Passo 2

Denotemos
f(x) = \bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}, \qquad h(x) = \bigl(x^{2}+2\bigr)^{6}.
Então
g'(x) = f'(x)\,h(x) + f(x)\,h'(x).
Pela regra da cadeia,
f'(x) = 3\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\cdot 2x = 6x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2},
h'(x) = 6\bigl(x^{2}+2\bigr)^{5}\cdot 2x = 12x\bigl(x^{2}+2\bigr)^{5}.
Substituindo em g'(x),
g'(x) = 6x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\bigl(x^{2}+2\bigr)^{6} + \bigl(x^{2}+1\bigr)^{3}\,12x\bigl(x^{2}+2\bigr)^{5}.

Passo 3

Fatorando termos comuns em g'(x):
g'(x) = 6x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\bigl(x^{2}+2\bigr)^{5} \Bigl[\,(x^{2}+2)+2(x^{2}+1)\Bigr].
No colchete temos
(x^{2}+2)+2(x^{2}+1)=3x^{2}+4,
portanto
\boxed{g'(x) = 6x\,(x^{2}+1)^{2}\,(x^{2}+2)^{5}\,(3x^{2}+4).}

Passo 4

Para g''(x) vamos derivar a forma fatorada de g'(x). Defina
A(x)=6x(3x^{2}+4), \quad B(x)=(x^{2}+1)^{2}(x^{2}+2)^{5},
assim g'(x)=A(x)\,B(x) e pela regra do produto
g''(x)=A'(x)\,B(x)+A(x)\,B'(x).
Calculamos
A'(x)=6\,(3x^{2}+4) + 6x\cdot 6x = 18x^{2}+24 +36x^{2} = 54x^{2}+24 = 6(9x^{2}+4),
e para B'(x) (novamente produto e cadeia)
B'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{2}\,(x^{2}+2)^{5} = 2(x^{2}+1)\cdot2x\,(x^{2}+2)^{5} + (x^{2}+1)^{2}\,5(x^{2}+2)^{4}\cdot2x.
Fatorando 2x(x^{2}+1)(x^{2}+2)^{4} obtemos
B'(x) =2x(x^{2}+1)(x^{2}+2)^{4}\Bigl[\, (x^{2}+1)\cdot5 + (x^{2}+2)\cdot2\Bigr] =2x(x^{2}+1)(x^{2}+2)^{4}(7x^{2}+9).

Passo 5

Agora
g''(x) = \bigl[6(9x^{2}+4)\bigr]\,(x^{2}+1)^{2}(x^{2}+2)^{5} + \bigl[6x(3x^{2}+4)\bigr]\cdot 2x(x^{2}+1)(x^{2}+2)^{4}(7x^{2}+9).
Fatorando 6(x^{2}+1)(x^{2}+2)^{4} e simplificando, chega-se a
\boxed{g''(x) =6\,(x^{2}+1)\,(x^{2}+2)^{4}\, \bigl(51x^{6}+141x^{4}+102x^{2}+8\bigr).}

Resposta

g'(x) = 6x\,(x^{2}+1)^{2}\,(x^{2}+2)^{5}\,(3x^{2}+4) g''(x) = 6\,(x^{2}+1)\,(x^{2}+2)^{4}\,(51x^{6}+141x^{4}+102x^{2}+8)

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