Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
y=\left(x+\left(x+x^{2} \sqrt{x}\right)^{3}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda de
y=\bigl(x+\bigl(x+x^{2}\sqrt{x}\bigr)^{3}\bigr)^{4}.
O conteúdo principal aqui é aplicação repetida da regra da cadeia, além de cálculo de derivadas de potências e de produto.

Passo 2

Para simplificar a notação, definimos
v = x + x^{2}\sqrt{x}, \quad u = x + v^{3},
de modo que
y = u^{4}.
Assim, vamos encontrar v', v'', depois u', u'' e, por fim, y' e y''.

Passo 3

Calculamos primeiro as derivadas de v. Como v = x + x^{2}x^{1/2} = x + x^{5/2}, temos
v' = 1 + \frac{5}{2}x^{3/2},
v'' = \frac{5}{2}\cdot\frac{3}{2}x^{1/2} = \frac{15}{4}x^{1/2}.

Passo 4

Agora u = x + v^{3}. Pela regra da cadeia,
u' = 1 + 3v^{2}v',
u'' = \frac{d}{dx}\bigl(1 + 3v^{2}v'\bigr) = 3\bigl(2v\,v'\,v' + v^{2}v''\bigr) = 6v\,(v')^{2} + 3v^{2}v''.

Passo 5

Finalmente y = u^{4}. Aplicando a regra da cadeia e produto,
y' = 4u^{3}u',
y'' = \frac{d}{dx}(4u^{3}u') = 12u^{2}(u')^{2} + 4u^{3}u''.

Passo 6

Substituindo de volta u, u', u'', v, v' e v'', obtemos
u = x + \bigl(x + x^{2}\sqrt{x}\bigr)^{3}, \quad v = x + x^{2}\sqrt{x},
v' = 1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}, \quad v'' = \tfrac{15}{4}x^{1/2},
u' = 1 + 3v^{2}\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr), \quad u'' = 6v\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr)^{2} + 3v^{2}\,\frac{15}{4}x^{1/2}.
Portanto,
y' = 4\bigl(x + v^{3}\bigr)^{3}\Bigl[1 + 3v^{2}\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr)\Bigr],
y'' = 12\bigl(x + v^{3}\bigr)^{2} \Bigl[1 + 3v^{2}\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr)\Bigr]^{2} +4\bigl(x + v^{3}\bigr)^{3}\Bigl[6v\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr)^{2} + \tfrac{45}{4}v^{2}x^{1/2}\Bigr].

Resposta

y' = 4\bigl(x + (x + x^{2}\sqrt{x})^{3}\bigr)^{3}\Bigl[1 + 3(x + x^{2}\sqrt{x})^{2}\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr)\Bigr],
y'' = 12\bigl(x + (x + x^{2}\sqrt{x})^{3}\bigr)^{2} \Bigl[1 + 3(x + x^{2}\sqrt{x})^{2}\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr)\Bigr]^{2}
\quad{}+4\bigl(x + (x + x^{2}\sqrt{x})^{3}\bigr)^{3} \Bigl[6(x + x^{2}\sqrt{x})\Bigl(1 + \tfrac{5}{2}x^{3/2}\Bigr)^{2} + \tfrac{45}{4}(x + x^{2}\sqrt{x})^{2}x^{1/2}\Bigr].

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