Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
y=10^{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede y' e y'' para a função
y = 10^{\,1 - x^{2}}.
Aqui o conteúdo principal é a derivação de uma exponencial de base 10 com argumento u(x)=1 - x^{2}. Vamos usar a regra da derivada de a^{u(x)} e a regra da cadeia.

Passo 2

Para a primeira derivada, note que se y = a^{u(x)} então
y' = a^{u(x)}\,\ln(a)\,u'(x).
Aqui a=10 e u(x)=1 - x^{2}, logo
u'(x) = \frac{d}{dx}(1 - x^{2}) = -2x.

Passo 3

Substituindo em y' = 10^{u(x)}\ln(10)\,u'(x), obtemos
y' = 10^{\,1 - x^{2}}\;\ln(10)\;(-2x) \quad\Longrightarrow\quad y' = -2x\,\ln(10)\;10^{\,1 - x^{2}}.

Passo 4

Para a segunda derivada, vemos y' = A(x)\,B(x) com
A(x) = -2x\,\ln(10), \quad B(x) = 10^{\,1 - x^{2}}.
Aplicando a regra do produto,
y'' = A'(x)\,B(x) + A(x)\,B'(x).
Compute
A'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(-2x\,\ln(10)\bigr) = -2\,\ln(10),
e de passo 2 sabemos
B'(x) = 10^{\,1 - x^{2}}\;\ln(10)\;(-2x) = -2x\,\ln(10)\;10^{\,1 - x^{2}}.

Passo 5

Substituindo em y'' = A'B + A\,B',
y'' = \bigl(-2\ln(10)\bigr)\,10^{\,1 - x^{2}} + \bigl(-2x\,\ln(10)\bigr)\,\bigl(-2x\,\ln(10)\;10^{\,1 - x^{2}}\bigr).
Fatorando 10^{\,1 - x^{2}},
y'' = 10^{\,1 - x^{2}} \Bigl[-2\ln(10) + 4x^{2}\bigl(\ln(10)\bigr)^{2}\Bigr].

Resposta

y' = -2x\,\ln(10)\;10^{\,1 - x^{2}}
y'' = 10^{\,1 - x^{2}}\Bigl[4x^{2}\bigl(\ln(10)\bigr)^{2}\;-\;2\ln(10)\Bigr]

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