Calcule a derivada primeira e segunda das seguintes funções:
g(t)=\frac{1}{\left(t^{4}+1\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede as derivadas primeira e segunda da função
g(t)=\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-3}.
Aqui vamos usar o regra da cadeia, que diz que, para \displaystyle g(t)=\bigl(u(t)\bigr)^{n},
temos
g'(t)=n\,u'(t)\,u(t)^{\,n-1}.
Em seguida, para a segunda derivada, aplicamos a regra do produto e de novo a cadeia.

Passo 2

Calcular g'(t).
Tomamos u(t)=t^{4}+1 e n=-3. Então
u'(t)=4t^{3},
e pela cadeia
g'(t)=-3\cdot\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-4}\cdot 4t^{3} =-12\,t^{3}\,\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-4}.

Passo 3

Calcular g''(t).
Escrevemos
g'(t)=-12\,t^{3}\,\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-4}
e aplicamos a regra do produto entre -12t^{3} e (t^{4}+1)^{-4}.
  1. Derivada de -12t^{3} é -36t^{2}.
  2. Derivada de \bigl(t^{4}+1\bigr)^{-4} pela cadeia é -4\cdot 4t^{3}\,(t^{4}+1)^{-5}=-16\,t^{3}\,(t^{4}+1)^{-5}.
    Portanto
g''(t) =-36t^{2}\,(t^{4}+1)^{-4} +(-12t^{3})\bigl(-16t^{3}(t^{4}+1)^{-5}\bigr).
Simplificando e colocando num único expoente:
g''(t) =\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-5}\bigl[-36t^{2}(t^{4}+1)+192t^{6}\bigr] =\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-5}\bigl(156t^{6}-36t^{2}\bigr) =12\,t^{2}\,(13t^{4}-3)\,\bigl(t^{4}+1\bigr)^{-5}.

Resposta

g'(t)=-12\,t^{3}\,(t^{4}+1)^{-4},
g''(t)=12\,t^{2}\,(13t^{4}-3)\,(t^{4}+1)^{-5}.

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