Calcule a derivada de
em relação à
, isto é, obtenha
, onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
- Pede: calcular a derivada de
em relação a , isto é, obter . - Função fornecida:
- Informação relevante sobre domínio: como há uma divisão por
, a função (e sua derivada) só estão definidas para .
Passo 2
Estratégia e ideia das regras que vamos usar (explicação didática e simples).
- A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então basta derivar
e . - Derivada de constante: a derivada de
é . - A outra parte é uma composição: temos uma função potência aplicada a uma razão. Para composições usamos a regra da cadeia, que diz, em linguagem direta:
- Aqui escolha natural:
-
. A derivada de em relação a (regra da potência) é . -
. Precisamos então de .
-
Passo 3
Calcular
aplicando a regra do quociente e explicar essa regra.
- Regra do quociente (forma direta): se
então
- No nosso caso:
e . -
porque a derivada de é . -
porque a derivada de é .
-
- Aplicando a fórmula:
- Observação sobre domínio: esse resultado só vale para
(denominador não nulo).
Passo 4
Aplicar a regra da cadeia para obter
e simplificar passo a passo.
- Derivada da parte potência pelo que falamos:
- Substituindo
:
- Multiplicando os números e juntando potências do denominador:
e
- Portanto, somando a derivada da constante
(que é ), obtemos:
Passo 5
Pequena verificação/ilustração para fixar a ideia (exemplo simples).
- Se tivéssemos
, pela regra da cadeia com teríamos
- A estrutura é análoga ao que fizemos: potência vezes derivada do interior. No problema original o “interior” era uma razão e, por isso, precisei aplicar também a regra do quociente para obter a derivada dessa parte.