Calcule a derivada de f(x) em relação à x, isto é, obtenha f^{\prime}(x)=\frac{d f(x)}{d x}, onde f(x)=1+\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{20}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: calcular a derivada de f(x) em relação a x, isto é, obter f'(x)=\dfrac{d f(x)}{d x}.
  • Função fornecida:
f(x)=1+\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{20}.
  • Informação relevante sobre domínio: como há uma divisão por x+3, a função (e sua derivada) só estão definidas para x\neq -3.

Passo 2

Estratégia e ideia das regras que vamos usar (explicação didática e simples).
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então basta derivar 1 e \left(\dfrac{x+1}{x+3}\right)^{20}.
  • Derivada de constante: a derivada de 1 é 0.
  • A outra parte é uma composição: temos uma função potência aplicada a uma razão. Para composições usamos a regra da cadeia, que diz, em linguagem direta:
\text{Se }F(x)=g(h(x))\text{ então }F'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).ã
  • Aqui escolha natural:
    • g(u)=u^{20}. A derivada de g em relação a u (regra da potência) é g'(u)=20u^{19}.
    • h(x)=\dfrac{x+1}{x+3}. Precisamos então de h'(x).

Passo 3

Calcular h'(x) aplicando a regra do quociente e explicar essa regra.
  • Regra do quociente (forma direta): se h(x)=\dfrac{v(x)}{w(x)} então
h'(x)=\frac{v'(x)w(x)-v(x)w'(x)}{[w(x)]^{2}}.
  • No nosso caso: v(x)=x+1 e w(x)=x+3.
    • v'(x)=1 porque a derivada de x+1 é 1.
    • w'(x)=1 porque a derivada de x+3 é 1.
  • Aplicando a fórmula:
h'(x)=\frac{(1)(x+3)-(x+1)(1)}{(x+3)^{2}}=\frac{x+3-x-1}{(x+3)^{2}}=\frac{2}{(x+3)^{2}}.
  • Observação sobre domínio: esse resultado só vale para x\neq -3 (denominador não nulo).

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia para obter f'(x) e simplificar passo a passo.
  • Derivada da parte potência pelo que falamos:
\frac{d}{dx}\left[\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{20}\right] =20\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{19}\cdot h'(x).
  • Substituindo h'(x)=\dfrac{2}{(x+3)^{2}}:
\frac{d}{dx}\left[\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{20}\right] =20\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{19}\cdot\frac{2}{(x+3)^{2}}.
  • Multiplicando os números e juntando potências do denominador:
20\cdot 2 = 40,
e
\left(\frac{x+1}{x+3}\right)^{19}\cdot\frac{1}{(x+3)^{2}} =\frac{(x+1)^{19}}{(x+3)^{19}}\cdot\frac{1}{(x+3)^{2}} =\frac{(x+1)^{19}}{(x+3)^{21}}.
  • Portanto, somando a derivada da constante 1 (que é 0), obtemos:
f'(x)=\frac{40(x+1)^{19}}{(x+3)^{21}},\qquad x\neq -3.

Passo 5

Pequena verificação/ilustração para fixar a ideia (exemplo simples).
  • Se tivéssemos g(x)=(2x+3)^5, pela regra da cadeia com u=2x+3 teríamos
g'(x)=5(2x+3)^{4}\cdot(2)=10(2x+3)^{4}.
  • A estrutura é análoga ao que fizemos: potência vezes derivada do interior. No problema original o “interior” era uma razão e, por isso, precisei aplicar também a regra do quociente para obter a derivada dessa parte.

Resposta

f'(x)=\frac{40(x+1)^{19}}{(x+3)^{21}}

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