(6,0 ptos) Mostre usando coordenadas esféricas na integral tripla que o volume de uma esfera de raio 4 é
unidades de volume.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando coordenadas esféricas numa integral tripla, que o volume de uma esfera de raio
é
unidades de volume.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A região é a esfera centrada na origem com raio
. - Objetivo: calcular o volume dessa região por meio de uma integral tripla em coordenadas esféricas.
Passo 2
Definição das coordenadas esféricas e os intervalos das variáveis (explicando o que cada variável significa):
- Seja
a tripla de coordenadas esféricas, com -
= distância do ponto à origem (raio), com . -
= ângulo polar, medido a partir do eixo positivo (ângulo colatitude), com . -
= ângulo azimutal no plano (como no plano polar usual), com .
-
- A correspondência para as coordenadas cartesianas é
Explicação curta:
posiciona a distância da origem,
indica a inclinação em relação ao eixo
e
gira em torno do eixo
.
Passo 3
Derivação intuitiva do elemento de volume em coordenadas esféricas (o jacobiano):
- Um pequeno incremento em
gera um comprimento . - Um pequeno incremento em
gera um arco de comprimento aproximadamente (porque o raio da circunferência correspondente é ). - Um pequeno incremento em
gera um arco no círculo de latitude cujo raio é , portanto comprimento aproximadamente . - O pequeno paralelepípedo local tem volume aproximado igual ao produto desses comprimentos:
- Conclusão: o elemento de volume em coordenadas esféricas é
Passo 4
Montar a integral tripla para o volume usando os limites apropriados:
- O volume
da esfera é a integral do elemento de volume sobre a região, isto é
- Em coordenadas esféricas, com os intervalos indicados, isso vira a integral iterada
Aqui cada limite foi escolhido porque a esfera ocupa todo o ângulo azimutal (
a
), toda a colatitude (
a
) e
vai de
até o raio
.
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Assim a integral reduz para
Passo 6
Calcular a integral em
:
Portanto substituindo,
Passo 7
Calcular a integral em
:
Passo 8
Comentário final e verificação com a fórmula conhecida:
- O resultado encontrado pode ser escrito como
. - Observação: para uma esfera de raio
o mesmo cálculo levaria a . Aqui, tomando , obtém-se , que coincide com o valor calculado.