(6,0 ptos) Mostre usando coordenadas esféricas na integral tripla que o volume de uma esfera de raio 4 é V=\frac{256}{3} \pi unidades de volume.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, usando coordenadas esféricas numa integral tripla, que o volume de uma esfera de raio 4 é \dfrac{256}{3}\pi unidades de volume.
Informações dadas:
  • A região é a esfera centrada na origem com raio 4.
  • Objetivo: calcular o volume dessa região por meio de uma integral tripla em coordenadas esféricas.

Passo 2

Definição das coordenadas esféricas e os intervalos das variáveis (explicando o que cada variável significa):
  • Seja (r,\varphi,\theta) a tripla de coordenadas esféricas, com
    • r = distância do ponto à origem (raio), com 0 \le r \le 4.
    • \varphi = ângulo polar, medido a partir do eixo z positivo (ângulo colatitude), com 0 \le \varphi \le \pi.
    • \theta = ângulo azimutal no plano xy (como no plano polar usual), com 0 \le \theta \le 2\pi.
  • A correspondência para as coordenadas cartesianas é
x = r\sin\varphi\cos\theta,\qquad y = r\sin\varphi\sin\theta,\qquad z = r\cos\varphi.
Explicação curta: r posiciona a distância da origem, \varphi indica a inclinação em relação ao eixo z e \theta gira em torno do eixo z.

Passo 3

Derivação intuitiva do elemento de volume em coordenadas esféricas (o jacobiano):
  • Um pequeno incremento em r gera um comprimento dr.
  • Um pequeno incremento em \varphi gera um arco de comprimento aproximadamente r\,d\varphi (porque o raio da circunferência correspondente é r).
  • Um pequeno incremento em \theta gera um arco no círculo de latitude cujo raio é r\sin\varphi, portanto comprimento aproximadamente r\sin\varphi\,d\theta.
  • O pequeno paralelepípedo local tem volume aproximado igual ao produto desses comprimentos:
dV \approx \bigl(dr\bigr)\bigl(r\,d\varphi\bigr)\bigl(r\sin\varphi\,d\theta\bigr)=r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
  • Conclusão: o elemento de volume em coordenadas esféricas é
dV = r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Montar a integral tripla para o volume usando os limites apropriados:
  • O volume V da esfera é a integral do elemento de volume sobre a região, isto é
V=\iiint_{\text{esfera}} dV.
  • Em coordenadas esféricas, com os intervalos indicados, isso vira a integral iterada
V=\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{\varphi=0}^{\pi}\int_{r=0}^{4} r^{2}\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta.
Aqui cada limite foi escolhido porque a esfera ocupa todo o ângulo azimutal ( 0 a 2\pi), toda a colatitude ( 0 a \pi) e r vai de 0 até o raio 4.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{0}^{4} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{4} = \frac{4^{3}}{3}=\frac{64}{3}.
Assim a integral reduz para
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{64}{3}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 6

Calcular a integral em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = -\cos\pi -(-\cos 0) = -(-1)-(-1)=2.
Portanto substituindo,
V=\int_{0}^{2\pi} \frac{64}{3}\cdot 2 \, d\theta = \int_{0}^{2\pi} \frac{128}{3}\, d\theta.

Passo 7

Calcular a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} \frac{128}{3}\, d\theta = \frac{128}{3}\cdot \bigl[ \theta \bigr]_{0}^{2\pi} = \frac{128}{3}\cdot 2\pi = \frac{256\pi}{3}.

Passo 8

Comentário final e verificação com a fórmula conhecida:
  • O resultado encontrado pode ser escrito como \dfrac{256}{3}\pi.
  • Observação: para uma esfera de raio R o mesmo cálculo levaria a V=\dfrac{4}{3}\pi R^{3}. Aqui, tomando R=4, obtém-se V=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 4^{3}=\dfrac{4}{3}\pi\cdot 64=\dfrac{256\pi}{3}, que coincide com o valor calculado.

Resposta

\dfrac{256\pi}{3}

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