Calcule os seguintes limites:
, onde
.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- É pedido o valor do limite
. - A função dada é
. - Então precisamos calcular a expressão
para próximo de zero e ver qual valor ela tende quando .
Passo 2
Calcular
explicitamente, desenvolvendo passo a passo cada termo:
- Primeiro,
expande-se usando a identidade . Aplicando com e obtemos
- Também temos
. - Somando os dois termos para obter
,
Passo 3
Formar a diferença
e simplificar, mostrando cancelamentos:
- Escrevendo
e subtraindo,
- Os termos
e aparecem com sinais opostos e se cancelam. Logo sobra
Passo 4
Dividir a diferença por
(a expressão do quociente em estudo) e fatorar para simplificar:
- Dividindo por
,
- Como
no quociente (estamos estudando o limite quando se aproxima de zero), podemos fatorar no numerador:
- Cancelando o fator
,
Passo 5
Usar propriedades de limites (regra da soma e continuidade) para passar ao limite quando
:
- Regra importante: se
é uma função polinomial em , ela é contínua em . Para funções contínuas vale que . - A expressão obtida é a função em
onde
é tratado como constante em relação a
. Como
é polinomial em
, podemos avaliar o limite substituindo
.
Passo 6
Avaliar o limite substituindo
na expressão simplificada (aplicando a continuidade):