Calcule os seguintes limites:
\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, onde f(x)=x^{2}+5 x.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • É pedido o valor do limite \displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • A função dada é f(x)=x^{2}+5x.
  • Então precisamos calcular a expressão \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} para h próximo de zero e ver qual valor ela tende quando h\to 0.

Passo 2

Calcular f(x+h) explicitamente, desenvolvendo passo a passo cada termo:
  • Primeiro, (x+h)^{2} expande-se usando a identidade (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}. Aplicando com a=x e b=h obtemos
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
  • Também temos 5(x+h)=5x+5h.
  • Somando os dois termos para obter f(x+h),
f(x+h)=(x+h)^{2}+5(x+h)=x^{2}+2xh+h^{2}+5x+5h.

Passo 3

Formar a diferença f(x+h)-f(x) e simplificar, mostrando cancelamentos:
  • Escrevendo f(x)=x^{2}+5x e subtraindo,
f(x+h)-f(x)=\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}+5x+5h\bigr)-\bigl(x^{2}+5x\bigr).
  • Os termos x^{2} e 5x aparecem com sinais opostos e se cancelam. Logo sobra
f(x+h)-f(x)=2xh+h^{2}+5h.

Passo 4

Dividir a diferença por h (a expressão do quociente em estudo) e fatorar para simplificar:
  • Dividindo por h,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{2xh+h^{2}+5h}{h}.
  • Como h\neq 0 no quociente (estamos estudando o limite quando h se aproxima de zero), podemos fatorar h no numerador:
\frac{2xh+h^{2}+5h}{h}=\frac{h(2x+h+5)}{h}.
  • Cancelando o fator h,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=2x+h+5.

Passo 5

Usar propriedades de limites (regra da soma e continuidade) para passar ao limite quando h\to 0:
  • Regra importante: se g(h) é uma função polinomial em h, ela é contínua em h=0. Para funções contínuas vale que \displaystyle \lim_{h\to 0} g(h)=g(0).
  • A expressão obtida é a função em h
g(h)=2x+h+5,
onde x é tratado como constante em relação a h. Como g(h) é polinomial em h, podemos avaliar o limite substituindo h=0.

Passo 6

Avaliar o limite substituindo h=0 na expressão simplificada (aplicando a continuidade):
\lim_{h\rightarrow 0}\bigl(2x+h+5\bigr)=2x+0+5.

Resposta

2x+5

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