Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=\sqrt[3]{x^{4}+5 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=\sqrt[3]{x^{4}+5 x^{2}}.
Informações relevantes:
  • A função está escrita como raiz cúbica de um polinômio; posso reescrevê-la como uma potência para facilitar a diferenciação.
  • É importante verificar para quais pontos a fórmula da derivada vale (às vezes a regra da cadeia produz uma expressão que não está definida em certos pontos, e é preciso checar a diferenciabilidade nesses pontos).

Passo 2

Reescrevo a função usando potências (isso é só uma mudança de escrita, é mais conveniente para aplicar as regras de derivação):
f(x)=(x^{4}+5x^{2})^{1/3}.
Explicação didática: escrever a raiz cúbica como potência ^{1/3} permite usar a regra de potência e a regra da cadeia de forma direta. Aqui a expressão interna (o “argumento”) é u(x)=x^{4}+5x^{2} e a função externa é g(u)=u^{1/3}.

Passo 3

Apresento e explico a regra da cadeia (a que vou usar): se f(x)=g(u(x)) com g diferenciável em u e u diferenciável em x, então
f'(x)=g'(u(x))\cdot u'(x).
No caso de uma potência g(u)=u^{n}, a derivada é
g'(u)=n\,u^{n-1}.
Aqui n=\tfrac{1}{3}. Assim, vou derivar a parte externa aplicando n u^{n-1} e multiplicar pela derivada da parte interna u'(x).

Passo 4

Calculo a derivada da função interna u(x)=x^{4}+5x^{2}. Uso a regra da soma e a regra da potência (derivada de x^{k} é k x^{k-1}):
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{4})+\frac{d}{dx}(5x^{2})=4x^{3}+10x.
Explicação didática: para x^{4} a derivada é 4x^{3}; para 5x^{2}, a constante 5 sai multiplicando e a derivada de x^{2} é 2x, logo 5\cdot 2x=10x.

Passo 5

Aplico a regra da cadeia combinando o resultado do passo 3 com u'(x) do passo 4. A derivada da parte externa u^{1/3} é \tfrac{1}{3}u^{-2/3}. Substituindo u=x^{4}+5x^{2} e multiplicando por u'(x):
f'(x)=\frac{1}{3}(x^{4}+5x^{2})^{-2/3}\cdot(4x^{3}+10x).
Posso reescrever em forma mais clara:
f'(x)=\frac{4x^{3}+10x}{3\,(x^{4}+5x^{2})^{2/3}}.
Pequena simplificação algébrica (opcional): fatorando 2x no numerador dá
f'(x)=\frac{2x(2x^{2}+5)}{3\,(x^{4}+5x^{2})^{2/3}}.
Mas atenção: não se pode cancelar imediatamente um x com termos dentro da potência sem cuidado, porque o denominador tem potência fracionária.

Passo 6

Verificação da diferenciabilidade em x=0. A expressão obtida acima tem denominador (x^{4}+5x^{2})^{2/3}, que é zero quando x^{4}+5x^{2}=0. Isso ocorre quando x=0. Portanto a fórmula obtida não é válida diretamente em x=0; é preciso checar se f é diferenciável em 0 por definição (limite do quociente incremental).
Faço a verificação por limite:
f(h)= (h^{4}+5h^{2})^{1/3}=(h^{2}(h^{2}+5))^{1/3}=|h|^{2/3}(h^{2}+5)^{1/3}.
Logo
\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{f(h)}{h}=|h|^{2/3}\frac{(h^{2}+5)^{1/3}}{h}.
Para h>0 isso é \dfrac{(h^{2}+5)^{1/3}}{h^{1/3}} que tende a +\infty quando h\to 0^{+}. Para h<0 tende a -\infty quando h\to 0^{-}. Assim o limite não existe (diverge com sinais opostos nas laterais), então f não é diferenciável em x=0.
Interpretação: geometricamente, f tem uma “tangente vertical” em 0 (o crescimento do quociente incremental explode), então não existe derivada finita em 0.

Resposta

f'(x)=\frac{4x^{3}+10x}{3\,(x^{4}+5x^{2})^{2/3}},\qquad x\neq 0
f'(0) não existe.

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