Determine a derivada das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações relevantes:
- A função está escrita como raiz cúbica de um polinômio; posso reescrevê-la como uma potência para facilitar a diferenciação.
- É importante verificar para quais pontos a fórmula da derivada vale (às vezes a regra da cadeia produz uma expressão que não está definida em certos pontos, e é preciso checar a diferenciabilidade nesses pontos).
Passo 2
Reescrevo a função usando potências (isso é só uma mudança de escrita, é mais conveniente para aplicar as regras de derivação):
Explicação didática: escrever a raiz cúbica como potência
permite usar a regra de potência e a regra da cadeia de forma direta. Aqui a expressão interna (o “argumento”) é
e a função externa é
.
Passo 3
Apresento e explico a regra da cadeia (a que vou usar): se
com
diferenciável em
e
diferenciável em
, então
No caso de uma potência
, a derivada é
Aqui
. Assim, vou derivar a parte externa aplicando
e multiplicar pela derivada da parte interna
.
Passo 4
Calculo a derivada da função interna
. Uso a regra da soma e a regra da potência (derivada de
é
):
Explicação didática: para
a derivada é
; para
, a constante 5 sai multiplicando e a derivada de
é
, logo
.
Passo 5
Aplico a regra da cadeia combinando o resultado do passo 3 com
do passo 4. A derivada da parte externa
é
. Substituindo
e multiplicando por
:
Posso reescrever em forma mais clara:
Pequena simplificação algébrica (opcional): fatorando
no numerador dá
Mas atenção: não se pode cancelar imediatamente um
com termos dentro da potência sem cuidado, porque o denominador tem potência fracionária.
Passo 6
Verificação da diferenciabilidade em
. A expressão obtida acima tem denominador
, que é zero quando
. Isso ocorre quando
. Portanto a fórmula obtida não é válida diretamente em
; é preciso checar se
é diferenciável em
por definição (limite do quociente incremental).
Faço a verificação por limite:
Logo
Para
isso é
que tende a
quando
. Para
tende a
quando
. Assim o limite não existe (diverge com sinais opostos nas laterais), então
não é diferenciável em
.
Interpretação: geometricamente,
tem uma “tangente vertical” em
(o crescimento do quociente incremental explode), então não existe derivada finita em
.