Calcule a derivada da seguinte função:
[0,8 pt] f(x)=x^raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $ e precisa encontrar sua derivada. Esse tipo de função envolve exponenciais com expoentes que também são funções, então vamos usar técnicas de derivação que nos ajudem a lidar com isso.

Passo 2

Primeiro, para diferenciar $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão. A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para trazer o expoente para baixo, facilitando a derivação.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural:
ln(f(x)) = ln(x^raizx)
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
ln(f(x)) = raizx cdot ln(x)

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a $ x $. Lembre-se que a derivada de $ \ln(f(x)) $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $ e vamos usar a regra do produto no lado direito.
x

Passo 5

Aplicando a regra do produto na derivada do lado direito:
ddx(raizx) cdot ln(x) + raizx cdot ddx(ln(x))
Sabemos que $ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ e $ \frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right) = \frac{1}{x} $. Substituindo:
ddx(raizx) = 12raizx

Passo 6

Simplificando a expressão:
ln(x)2raizx + raizxx = ln(x)2raizx + 1raizx

Passo 7

Agora, retornamos à equação inicial para encontrar $ f’(x) $. Multiplicamos ambos os lados por $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $:
f'(x)

Resposta

A derivada de $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $ é:
f(x) = x^raizx

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