Calcule a derivada da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $ e precisa encontrar sua derivada. Esse tipo de função envolve exponenciais com expoentes que também são funções, então vamos usar técnicas de derivação que nos ajudem a lidar com isso.
Passo 2
Primeiro, para diferenciar $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $, vamos usar logaritmos para simplificar a expressão. A ideia é aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação para trazer o expoente para baixo, facilitando a derivação.
Passo 3
Aplicando o logaritmo natural:
Usando a propriedade dos logaritmos que permite trazer o expoente para frente:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados em relação a $ x $. Lembre-se que a derivada de $ \ln(f(x)) $ é $ \frac{f’(x)}{f(x)} $ e vamos usar a regra do produto no lado direito.
Passo 5
Aplicando a regra do produto na derivada do lado direito:
Sabemos que $ \frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $ e $ \frac{d}{dx}\left(\ln(x)\right) = \frac{1}{x} $. Substituindo:
Passo 6
Simplificando a expressão:
Passo 7
Agora, retornamos à equação inicial para encontrar $ f’(x) $. Multiplicamos ambos os lados por $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $:
Resposta
A derivada de $ f(x) = x^{\sqrt{x}} $ é: