Calcule a derivada da seguinte função:
[0,8 pt] f(x)=raizarctg(x)x-1

Passo 1

Resumindo o enunciado: a função é f(x)=raizarctan(x)x-1. O conteúdo é diferenciação de função composta envolvendo raiz e quociente. Para resolver, vamos precisar das regras: derivada da raiz (chain rule), derivada de quociente (quotient rule) e derivada de arctan(x).

Passo 2

Definimos a função interna g(x)=arctan(x)x-1. Assim temos f(x)=raizg(x)=[g(x)]^1/2.

Passo 3

Calculamos g'(x) usando a regra do quociente. Começando com:
g'(x)=(x-1), (arctan(x))' - arctan(x), (x-1)'(x-1)^2
Como (arctan(x))'=tfrac11+x^2 e (x-1)'=1, substituímos:

Passo 4

Substituindo as derivadas no numerador obtemos:
g'(x)=x-11+x^2-arctan(x)(x-1)^2 = (x-1)-(1+x^2),arctan(x)(1+x^2),(x-1)^2

Passo 5

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=[g(x)]^1/2. A derivada é:
f'(x)=12raizg(x),g'(x)

Passo 6

Substituímos g(x) e g'(x) na expressão de f'(x):
f'(x)=12raizarctan(x)x-1cdot(x-1)-(1+x^2),arctan(x)(1+x^2),(x-1)^2

Passo 7

Organizando o resultado final, obtemos:
f'(x)=(x-1)-(1+x^2),arctan(x)2,(1+x^2),(x-1)^2,raizarctan(x)x-1

Resposta

f'(x)=(x-1)-(1+x^2),arctan(x)2,(1+x^2),(x-1)^2,raizarctan(x)x-1

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