Exercício 1. Determine e esboce o domínio e a imagem das funções.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio e a imagem da função de duas variáveis f(x,y)=√(x+y). O conteúdo é domínio e imagem de funções multivariadas, e vamos usar a condição de existência da raiz quadrada (argumento ≥0).
Passo 2
Para achar o domínio, impomos que o argumento da raiz seja não negativo. Ou seja, precisamos de
Essa desigualdade define um semiplano em R²: a fronteira é a reta x+y=0, e o domínio é a região onde x+y é positivo ou igual a zero. Geometricamente, a reta x+y=0 tem inclinação –1 e passa pela origem. O domínio é o semiplano acima (ou sobre) essa reta. Para esboçar, basta traçar a reta diagonal e sombrear a região que satisfaz x+y≥0.
Passo 3
Para a imagem, note que a raiz quadrada produz valores não negativos. Como x+y pode variar de 0 até +∞ dentro do domínio, f(x,y)=√(x+y) assume todos os valores de 0 até +∞.
Portanto, a imagem da função é o intervalo [0, ∞).
Portanto, a imagem da função é o intervalo [0, ∞).
Resposta
Domínio: {(x,y)∈R² | x+y≥0}. Imagem: [0,∞).