Considere um cilindro definido pelas coordenadas 0 <= r <= 2,0 <= theta <= 2 pi e 0 <= z <= 4. Obtenha a solução limitada e que não depende de theta para o Problema de Laplace neste cilindro, supondo que u(2, z)=0 com 0, u(r, 0)=u0 e u(r, 4)=0, com 0, onde u0 é uma constante.

Passo 1

Nesta questão queremos resolver o Problema de Laplace num cilindro de raio máximo 2 e altura 4, assumindo solução independente de θ e limitada em r=0. Vamos usar separação de variáveis, equação de Bessel e séries de Fourier–Bessel.

Passo 2

Assumimos u(r,z)=R®Z(z). Substituindo na equação de Laplace em coordenadas cilíndricas e dividindo por RZ, obtemos as ODEs ligadas por um parâmetro λ:
1Rl(R''+1rR'r)+1ZZ''=0LongrightarrowR''+tfrac1rR'R=-Z''Z=lambda^2
Portanto as equações são
R''+1rR'+lambda^2R=0,
Z''-lambda^2Z=0

Passo 3

A equação radial é a equação de Bessel de ordem zero. A solução geral é
R(r)=A J0(lambda r)+B Y0(lambda r)
A condição de regularidade em r=0 impõe B=0. A condição de contorno R(2)=0 exige J0(2lambda)=0. Chamando as raízes positivas de J_0(α)=0 de α_n, temos 2lambdan=αn, isto é lambdan=αn/2.

Passo 4

Resolvendo a parte em z com Z’’-λ^2Z=0 e usando Z(4)=0, podemos tomar
Zn(z)=Cnsinhl[lambdan(4-z)r],
que satisfaz Z_n(4)=0. Assim cada modo vale
un(r,z)=An J0(lambdan r)sinhl[lambdan(4-z)r]

Passo 5

Para ajustar a condição u(r,0)=u_0, escrevemos
u(r,0)=u0=sumn=1^infty An J0(lambdan r)sinh(4lambdan)
Usando a ortogonalidade de J_0 em [0,2],
integral0^2 rJ0(lambdan r)J0(lambdam r),dr=2,[J1(αn)]^2,de
obtemos para os coeficientes
An=integral0^2u0,rJ0(lambdan r)drsinh(4lambdan)integral0^2rJ0^2(lambdan r)dr =u0lambdanJ1(αn)sinh(4lambdan)

Passo 6

A solução geral limitada e independente de θ é portanto
u(r,z)=sumn=1^infty u0lambdanJ1(αn)sinh(4lambdan);J0(lambdan r)sinhl[lambdan(4-z)r],
onde αn são as raízes de J0(α)=0 e lambdan=αn/2.

Resposta

u(r,z)=sumn=1^infty u0lambdanJ1(αn)sinh(4lambdan);J0(lambdan r)sinhl[lambdan(4-z)r], lambdan=tfracαn2,;J0(αn)=0

Exercícios relacionados