Considere um cilindro definido pelas coordenadas
e
. Obtenha a solução limitada e que não depende de
para o Problema de Laplace neste cilindro, supondo que
com
,
e
, com
, onde
é uma constante.
Passo 1
Nesta questão queremos resolver o Problema de Laplace num cilindro de raio máximo 2 e altura 4, assumindo solução independente de θ e limitada em r=0. Vamos usar separação de variáveis, equação de Bessel e séries de Fourier–Bessel.
Passo 2
Assumimos u(r,z)=R®Z(z). Substituindo na equação de Laplace em coordenadas cilíndricas e dividindo por RZ, obtemos as ODEs ligadas por um parâmetro λ:
Portanto as equações são
Passo 3
A equação radial é a equação de Bessel de ordem zero. A solução geral é
A condição de regularidade em r=0 impõe B=0. A condição de contorno R(2)=0 exige
Passo 4
Resolvendo a parte em z com Z’’-λ^2Z=0 e usando Z(4)=0, podemos tomar
que satisfaz Z_n(4)=0. Assim cada modo vale
Passo 5
Para ajustar a condição u(r,0)=u_0, escrevemos
Usando a ortogonalidade de J_0 em [0,2],
obtemos para os coeficientes
Passo 6
A solução geral limitada e independente de θ é portanto
onde