Calcule a derivada da seguinte função:
Dx(raiz2 xx+3)

Passo 1

Estamos querendo derivar a função f(x)=raiz2xx+3. O conteúdo principal envolve a regra do quociente e a regra da cadeia para derivar raízes.

Passo 2

Definimos as funções auxiliares para usar a regra do quociente:
u(x)=raiz2x=(2x)^1/2, v(x)=x+3
Assim f(x)=u(x)v(x).

Passo 3

Calculamos a derivada de u(x) usando a regra da cadeia. Se u(x)=(2x)^1/2, então:
u'(x)=12(2x)^-1/2cdot 2=1raiz2x

Passo 4

A derivada de v(x)=x+3 é direta, pois é função linear:
v'(x)=1

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2
Substituindo u, u', v, v' temos
f'(x)=1raiz2x(x+3)-raiz2xcdot1(x+3)^2

Passo 6

Vamos simplificar o numerador reunindo em um só denominador raiz2x:
x+3raiz2x-raiz2x,raiz2xraiz2x=x+3-2xraiz2x=3-xraiz2x
Logo,
f'(x)=3-xraiz2x,(x+3)^2

Resposta

f'(x)=3-xraiz2x,(x+3)^2

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