Dada a função S(t)=2 t^2t^2-1
Encontre os pontos de máximo e mínimo, se houver.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os pontos de máximo e mínimo da função S(t)=2t^2t^2-1. Esse é um problema de cálculo diferencial: vamos precisar calcular a derivada, achar os pontos críticos (onde a derivada é zero ou não existe) e então classificar esses pontos.

Passo 2

Para achar a derivada S'(t), usamos a regra do quociente. Se S(t)=dfracN(t)D(t) com N(t)=2t^2 e D(t)=t^2-1, então
S'(t)=N'(t)D(t)-N(t)D'(t)[D(t)]^2 =4t,(t^2-1)-2t^2cdot 2t(t^2-1)^2

Passo 3

Agora simplificamos o numerador:
4t^3-4t-4t^3=-4t,
logo
S'(t)=-4t(t^2-1)^2

Passo 4

Os pontos críticos vêm de S'(t)=0 ou onde S'(t) não existe (mas t=pm1 não estão no domínio). Da equação
-4t(t^2-1)^2=0 vemos que o único ponto crítico é t=0.

Passo 5

Para classificar, analisamos o sinal de S'(t). Como (t^2-1)^2>0 sempre (exceto em t=pm1), o sinal de S'(t) é o de (-4t):
  • Se t<0, então -4t)>0, logo a função é crescente à esquerda de 0.
  • Se t>0, então -4t)<0, logo a função é decrescente à direita de 0.
    Isso mostra que em t=0 a função possui um máximo local. Calculando S(0):
S(0)=2cdot0^20^2-1=0

Passo 6

Não há outros pontos críticos dentro do domínio, então não existem mínimos locais.

Resposta

Máximo local em t=0 com valor S(0)=0. Não há mínimo local.

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