Calcule a derivada da seguinte função:
f(theta)=2 cos theta^2 cdot sen 2 theta

Passo 1

Temos a função f(theta)=2cos(theta^2)cdotsin(2theta). O conteúdo envolvido é derivada de produto e regra da cadeia, e precisaremos aplicar ambas.

Passo 2

Aplicando a regra do produto com a constante 2:
f'(theta)=2l[tfracddthetal(cos(theta^2)r)cdotsin(2theta)+cos(theta^2)cdottfracddthetal(sin(2theta)r)r]

Passo 3

Calculamos as derivadas internas usando a regra da cadeia:
Para cos(theta^2):
tfracddthetacos(theta^2)=-sin(theta^2)cdot2theta=-2thetasin(theta^2)
Para sin(2theta):
tfracddthetasin(2theta)=cos(2theta)cdot2=2cos(2theta)

Passo 4

Substituindo esses resultados em f'(theta) e distribuindo o 2:
f'(theta)=2l[-2thetasin(theta^2)sin(2theta)+2cos(theta^2)cos(2theta)r]
f'(theta)=-4thetasin(theta^2)sin(2theta)+4cos(theta^2)cos(2theta)

Passo 5

Para deixar mais compacto, podemos fatorar 4:
f'(theta)=4l(cos(theta^2)cos(2theta)-thetasin(theta^2)sin(2theta)r)

Resposta

f'(theta)=4l(cos(theta^2)cos(2theta)-thetasin(theta^2)sin(2theta)r)

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