Calcule integral sin (x) e^2 x d x.

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos calcular integral sin(x)e^2x,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos o produto de duas funções de que sabemos a integral separadamente.

Passo 2

Para organizar a conta, definimos I= integral e^2xsin(x),dx. Aplicando integração por partes com u=sin(x) e dv=e^2x,dx, temos du=cos(x),dx e v=tfrac12e^2x. Pela fórmula integral u,dv = uv-integral v,du, obtém-se
I = tfrac12e^2xsin(x) - tfrac12integral e^2xcos(x),dx

Passo 3

Chamamos J= integral e^2xcos(x),dx a integral que resta e fazemos outra integração por partes com u=cos(x) e dv=e^2x,dx. Então du=-sin(x),dx e v=tfrac12e^2x, o que leva a
J = tfrac12e^2xcos(x) + tfrac12integral e^2xsin(x),dx = tfrac12e^2xcos(x) + tfrac12I

Passo 4

Substituindo J na expressão de I, temos
I = tfrac12e^2xsin(x) - tfrac12J = tfrac12e^2xsin(x) - tfrac12l(tfrac12e^2xcos(x)+tfrac12Ir)
Isso resulta em
I = tfrac12e^2xsin(x) - tfrac14e^2xcos(x) - tfrac14I Longrightarrow tfrac54I = tfrac12e^2xsin(x) - tfrac14e^2xcos(x)

Passo 5

Isolando I em
tfrac54I = tfrac12e^2xsin(x) - tfrac14e^2xcos(x),
concluímos que
I = e^2x5l(2sin(x)-cos(x)r)

Resposta

e^2x5l(2sin(x)-cos(x)r) + C

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