Calcule
Passo 1
Estamos querendo calcular a integral
. O conteúdo aqui é decomposição de fração racional e integração termo a termo.
Passo 2
Repare que dá para separar a fração assim:
Passo 3
Para integrar a parte
, montamos frações parciais:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Passo 5
Expandindo e comparando coeficientes para
e termo independente, chegamos ao sistema
Passo 6
Resolvendo, achamos
A=tfrac14 ,
B=-tfrac14 e
C=tfrac12 . Assim a integral vira
Passo 7
Agora é só integrar termo a termo: o
1 dá
x , cada
1/(x+1) e
1/(x-1) dá logaritmo, e
1/(x-1)^2 dá
-1/(x-1) .
Resposta
\displaystyle x + \frac14\ln\bigl|x+1\bigr| - \frac14\ln\bigl|x-1\bigr| - \frac{1}{2(x-1)} + C