Calcule integral (x+1)(x-1)^2+1(x+1)(x-1)^2 d x

Passo 1

Estamos querendo calcular a integral integral (x+1)(x-1)^2+1(x+1)(x-1)^2,dx. O conteúdo aqui é decomposição de fração racional e integração termo a termo.

Passo 2

Repare que dá para separar a fração assim:
(x+1)(x-1)^2+1(x+1)(x-1)^2 = (x+1)(x-1)^2(x+1)(x-1)^2 + 1(x+1)(x-1)^2 = 1 + 1(x+1)(x-1)^2

Passo 3

Para integrar a parte 1(x+1)(x-1)^2, montamos frações parciais:
1(x+1)(x-1)^2 = Ax+1 + Bx-1 + C(x-1)^2

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x-1)^2, obtemos
1 = A(x-1)^2 + B(x+1)(x-1) + C(x+1)

Passo 5

Expandindo e comparando coeficientes para x^2,x, e termo independente, chegamos ao sistema
A + B = 0, -2A + C = 0, A - B + C = 1

Passo 6

Resolvendo, achamos A=tfrac14, B=-tfrac14 e C=tfrac12. Assim a integral vira
integral l(1 + tfrac141x+1 - tfrac141x-1 + tfrac121(x-1)^2r)dx

Passo 7

Agora é só integrar termo a termo: o 1 x, cada 1/(x+1) e 1/(x-1) dá logaritmo, e 1/(x-1)^2 -1/(x-1).

Resposta

\displaystyle x + \frac14\ln\bigl|x+1\bigr| - \frac14\ln\bigl|x-1\bigr| - \frac{1}{2(x-1)} + C

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