Calcule a derivada da seguinte função:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 3 \cdot \operatorname{tg}(2x + 1) + \sqrt{x} $. Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções trigonométricas e de funções com potências fracionárias. Vamos precisar usar as regras de derivação para cada parte da função.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a parte $ 3 \cdot \operatorname{tg}(2x + 1) $. Lembre-se que a derivada de $ \operatorname{tg}(u) $ em relação a $ x $ é $ \operatorname{sec}^2(u) \cdot \frac{du}{dx} $. Aqui, $ u = 2x + 1 $.
Passo 3
Calculando $ \frac{du}{dx} $ onde $ u = 2x + 1 $, temos:
Então, a derivada de $ \operatorname{tg}(2x + 1) $ é:
Multiplicando pelo 3 que estava na frente:
Passo 4
Agora, vamos derivar a parte $ \sqrt{x} $. Lembrando que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $ e a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $, temos:
Passo 5
Finalmente, combinamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total de $ f(x) $:
Resposta
A derivada da função é: