Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=3 tg(2 x+1)+raizx

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 3 \cdot \operatorname{tg}(2x + 1) + \sqrt{x} $. Isso envolve conhecimentos de derivadas de funções trigonométricas e de funções com potências fracionárias. Vamos precisar usar as regras de derivação para cada parte da função.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte $ 3 \cdot \operatorname{tg}(2x + 1) $. Lembre-se que a derivada de $ \operatorname{tg}(u) $ em relação a $ x $ é $ \operatorname{sec}^2(u) \cdot \frac{du}{dx} $. Aqui, $ u = 2x + 1 $.

Passo 3

Calculando $ \frac{du}{dx} $ onde $ u = 2x + 1 $, temos:
dudx
Então, a derivada de $ \operatorname{tg}(2x + 1) $ é:
u = 2x + 1
Multiplicando pelo 3 que estava na frente:
dudx = 2

Passo 4

Agora, vamos derivar a parte $ \sqrt{x} $. Lembrando que $ \sqrt{x} = x^{1/2} $ e a derivada de $ x^n $ é $ n \cdot x^{n-1} $, temos:
raizx

Passo 5

Finalmente, combinamos as derivadas das duas partes para obter a derivada total de $ f(x) $:
f(x)

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = 6 cdot sec^2(2x + 1) + 12raizx

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