Calcule a derivada da seguinte função:
f(theta)=-cosec^2 theta^3

Passo 1

Aqui a gente quer derivar a função f(theta) = -cosec^2l(theta^3r). O assunto é derivada de função composta envolvendo potência e função trigonométrica (cosecante). Vamos usar a regra da cadeia e a derivada de csc x.

Passo 2

Primeiro, reescrevo f como composição de funções: defino u(theta) = cosecl(theta^3r). Então f(theta) = -l(u(theta)r)^2.
Aplico a regra da cadeia para a potência: se f = -u^2, então
f'(theta) = -2,u(theta);u'(theta)

Passo 3

Agora derivamos u(theta) = cscl(theta^3r). Sabendo que
ddxl[csc xr] = -csc x,cot x, e que theta^3 tem derivada 3theta^2, pela regra da cadeia ficamos com
u'(theta) = -cscl(theta^3r),cotl(theta^3r) cdot 3theta^2 = -3theta^2,cscl(theta^3r),cotl(theta^3r)

Passo 4

Finalmente, substituo u(theta) e u'(theta) em f'(theta) = -2u,u' e simplifico:
f'(theta) = -2,cscl(theta^3r)timesl(-3theta^2,cscl(theta^3r)cotl(theta^3r)r) = 6theta^2,csc^2l(theta^3r),cotl(theta^3r)

Resposta

f'(theta)=6theta^2,csc^2l(theta^3r)cotl(theta^3r)

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