Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados:
y=1+x, x=2, x=0, y=0 (eixo x );

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas $ y = 1 + x $, $ x = 2 $, $ x = 0 $ e $ y = 0 $ ao redor do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da matéria de Cálculo para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas dadas delimitam uma área no primeiro quadrante do plano cartesiano. A linha $ y = 1 + x $ é uma reta que sobe, $ x = 0 $ é o eixo $ y $, $ x = 2 $ é uma linha vertical, e $ y = 0 $ é o eixo $ x $. Essa região é um trapézio.

Passo 3

Como vamos girar essa região em torno do eixo $ x $, podemos usar o método dos discos. A ideia é imaginar fatiar o sólido em discos finíssimos perpendiculares ao eixo $ x $, calcular a área de cada disco e integrar essas áreas ao longo do intervalo de $ x $.

Passo 4

A fórmula do volume pelo método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 , dx
Onde $ f(x) $ é a função que descreve a borda superior da região e $ a $ e $ b $ são os limites de integração em $ x $.

Passo 5

No nosso caso, a função que descreve a borda superior é $ y = 1 + x $. Os limites de integração são de $ x = 0 $ até $ x = 2 $.

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
V = pi integral0^2 (1 + x)^2 , dx

Passo 7

Agora, vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2
Então, a integral fica:
V = pi integral0^2 (1 + 2x + x^2) , dx

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
integral (1) , dx = x
integral 2x , dx = x^2
integral x^2 , dx = x^33
Então, a integral completa é:
V = pi [ x + x^2 + x^33 ]0^2

Passo 9

Agora, avaliamos a expressão nos limites de 2 e 0:
Para $ x = 2 $:
x = 2
Para $ x = 0 $:
2 + (2)^2 + (2)^33 = 2 + 4 + 83 = 6 + 83 = 263
Então, a diferença é $ \frac{26}{3} - 0 = \frac{26}{3} $.

Passo 10

Multiplicamos pelo $ \pi $:
pi

Resposta

O volume do sólido de revolução é $ \frac{26\pi}{3} $ unidades cúbicas.

Exercícios relacionados