Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas ao redor dos eixos dados:
(eixo x );
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Queremos encontrar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região delimitada pelas curvas $ y = 1 + x $, $ x = 2 $, $ x = 0 $ e $ y = 0 $ ao redor do eixo $ x $. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica da matéria de Cálculo para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. As curvas dadas delimitam uma área no primeiro quadrante do plano cartesiano. A linha $ y = 1 + x $ é uma reta que sobe, $ x = 0 $ é o eixo $ y $, $ x = 2 $ é uma linha vertical, e $ y = 0 $ é o eixo $ x $. Essa região é um trapézio.
Passo 3
Como vamos girar essa região em torno do eixo $ x $, podemos usar o método dos discos. A ideia é imaginar fatiar o sólido em discos finíssimos perpendiculares ao eixo $ x $, calcular a área de cada disco e integrar essas áreas ao longo do intervalo de $ x $.
Passo 4
A fórmula do volume pelo método dos discos é:
Onde $ f(x) $ é a função que descreve a borda superior da região e $ a $ e $ b $ são os limites de integração em $ x $.
Passo 5
No nosso caso, a função que descreve a borda superior é $ y = 1 + x $. Os limites de integração são de $ x = 0 $ até $ x = 2 $.
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Passo 7
Agora, vamos expandir o integrando para facilitar a integração:
Então, a integral fica:
Passo 8
Vamos integrar termo a termo:
Então, a integral completa é:
Passo 9
Agora, avaliamos a expressão nos limites de 2 e 0:
Para $ x = 2 $:
Para $ x = 0 $:
Então, a diferença é $ \frac{26}{3} - 0 = \frac{26}{3} $.
Passo 10
Multiplicamos pelo $ \pi $:
Resposta
O volume do sólido de revolução é $ \frac{26\pi}{3} $ unidades cúbicas.