Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=(x^3+raizx) cosec x

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x) = (x³ + √x)·cosec x. O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas de funções potência e da função cosecante.

Passo 2

Para aplicar a regra do produto, definimos h(x) = x³ + √x e g(x) = cosec x. A regra do produto diz que f’(x) = h’(x)·g(x) + h(x)·g’(x).

Passo 3

Para derivar h(x) = x³ + x^{1/2}, usamos a regra de potência. Assim, h’(x) = 3x² + \tfrac12 x^{-1/2} = 3x² + \frac{1}{2√x}.

Passo 4

Para derivar g(x) = cosec x, lembramos que cosec x = 1/ sin x e a sua derivada é g’(x) = -cosec x·cot x.

Passo 5

Usando a regra do produto, temos f’(x) = h’(x)·g(x) + h(x)·g’(x). Substituindo h'(x)=3x²+12√x², , g(x)=cosec x³ e , temos:

Resposta

Exercícios relacionados