Calcule a derivada da seguinte função:
Passo 1
O enunciado pede a derivada de f(x) = (x³ + √x)·cosec x. O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas de funções potência e da função cosecante.
Passo 2
Para aplicar a regra do produto, definimos h(x) = x³ + √x e g(x) = cosec x. A regra do produto diz que f’(x) = h’(x)·g(x) + h(x)·g’(x).
Passo 3
Para derivar h(x) = x³ + x^{1/2}, usamos a regra de potência. Assim, h’(x) = 3x² + \tfrac12 x^{-1/2} = 3x² + \frac{1}{2√x}.
Passo 4
Para derivar g(x) = cosec x, lembramos que cosec x = 1/ sin x e a sua derivada é g’(x) = -cosec x·cot x.
Passo 5
Usando a regra do produto, temos f’(x) = h’(x)·g(x) + h(x)·g’(x). Substituindo
, ,
e , temos: