Técnicas de construção de gráficos - 5,0 pontos
Dada a função
f(x)=l (x+9)^2-8 se x<-7 -raiz25-(x+4)^2 se -7 <= x <= 0 (x-2)^2-7 se 0
a) ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira;
b) determine os intervalos de crescimento;
c) determine os intervalos de decrescimento;
d) indique o comportamento da concavidade;
e) faça um esboço do gráfico de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que envolve a função por partes dada. A função está definida de três maneiras diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é encontrar os extremos relativos usando o teste da derivada primeira, determinar onde a função está crescendo ou decrescendo, analisar a concavidade e, por fim, fazer um esboço do gráfico. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções por partes e aplicar os conceitos de derivadas para identificar os comportamentos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f(x) = (x + 9)^2 - 8 em cada parte da função. A derivada nos ajuda a entender onde a função está aumentando ou diminuindo, o que é essencial para identificar os extremos relativos.
Para f'(x) = 2(x + 9) :
f(x) = -raiz25 - (x + 4)^2
Derivando:
f'(x) = -12(25 - (x + 4)^2)^-1/2 cdot (-2)(x + 4) = x + 4raiz25 - (x + 4)^2
Para f(x) = (x - 2)^2 - 7 :
f'(x) = 2(x - 2)
Derivando usando a regra da cadeia:
Para :
Derivando:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos onde a derivada é igual a zero ou não existe, pois esses pontos podem ser candidatos a extremos relativos.
Para 2(x + 9) = 0 implies x = -9 :
x + 4raiz25 - (x + 4)^2 = 0 implies x + 4 = 0 implies x = -4
Como 2(x - 2) = 0 implies x = 2 , é um ponto válido.
Para :
Como , é um ponto válido.
Para :
Como , é um ponto válido.

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo para identificar se a função está crescendo ou decrescendo, o que nos ajudará a determinar os extremos relativos.
Para f'(x) = 2(x + 9) < 0 implies f(x) está decrescendo :
f'(x) = 2(x + 9) > 0 implies f(x) está crescendo á
Para f'(x) = x + 4raiz25 - (x + 4)^2 < 0 implies f(x) está decrescendo :
f'(x) = x + 4raiz25 - (x + 4)^2 > 0 implies f(x) está crescendo á
Para f'(x) = 2(x - 2) < 0 implies f(x) está decrescendo :
f'(x) = 2(x - 2) > 0 implies f(x) está crescendo á
Para :
á
Para :
á
Para :
á

Passo 5

Com base nas mudanças de sinal da derivada, podemos identificar os extremos relativos:
  • Em : a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.
  • Em : a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.
  • Em : a derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo relativo.

Passo 6

Para determinar o comportamento da concavidade, precisamos analisar a segunda derivada em cada intervalo.
Vamos derivar novamente:
Para f'(x) = 2(x + 9) implies f''(x) = 2 > 0 implies Concavidade para cima :
f'(x) = x + 4raiz25 - (x + 4)^2
Para f''(x) = raiz25 - (x + 4)^2 cdot 1 - (x + 4) cdot -(x + 4)raiz25 - (x + 4)^225 - (x + 4)^2 :
f''(x) = 25 - (x + 4)^2 + (x + 4)^2(25 - (x + 4)^2)^3/2 = 25(25 - (x + 4)^2)^3/2 > 0 implies Concavidade para cima
Derivando:
f'(x) = 2(x - 2) implies f''(x) = 2 > 0 implies Concavidade para cima
Simplificando:
Para :

Resposta

Os extremos relativos da função ocorrem em , e . A função está crescendo nos intervalos , e , e decrescendo nos intervalos , e . A concavidade da função é para cima em todo o domínio. O esboço do gráfico refletirá esses comportamentos, mostrando mínimos relativos nos pontos mencionados e parabolas orientadas para cima nas respectivas regiões.

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