Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=arcsec raizx

Passo 1

Vamos estudar a função f(x)=arcsec(raizx). O conteúdo principal aqui é derivada da função arcsec e aplicação da regra da cadeia para compor com raizx.

Passo 2

A derivada de arcsec(u) em relação a u é dada por
ddul(arcsec(u)r)=1|u|raizu^2-1
Isso vem da definição de derivada de funções inversas e da identidade trigonométrica associada.

Passo 3

Definimos u(x)=raizx. Então
u'(x)=ddx(raizx)=12raizx

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia: e f'(x)=l(arcsec(u(x))r)'=u'(x)cdotdfrac1|u(x)|raizu(x)^2-1 Substituindo (u(x)=raizx:
u'(x)=1/(2raizx)
Como f'(x)=12raizxcdot1raizxraiz(raizx)^2-1=12raizxcdotraizxraizx-1 , simplificamos:

Passo 5

No fim, obtemos
f'(x)=12xraizx-1

Resposta

f'(x)=dfrac12xraizx-1

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