Nos Exercicios de 1 a 26, ache a derivada da função dada.
f(x)=cosec^-1 2 x

Passo 1

No enunciado temos a função f(x)=cosec^-1(2x). O conteúdo envolve a derivada de função inversa trigonométrica (arccosecante) e a aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

A derivada da arccosecante cosec^-1(u) em relação a u é dada por
ddul[cosec^-1(u)r] = -1|u|raizu^2-1

Passo 3

Identificamos a parte interna como u(x)=2x, cuja derivada é u'(x)=2.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, substituímos u e u' na fórmula:
f'(x)=ddxl[cosec^-1(u(x))r] = -u'(x)|u(x)|raizu(x)^2-1 = -2|2x|raiz(2x)^2-1

Passo 5

Para simplificar, note que |2x|=2|x| e (2x)^2=4x^2. Assim:
f'(x) = -22|x|raiz4x^2-1 = -1|x|raiz4x^2-1

Resposta

f'(x) = -dfrac1|x|raiz4x^2 - 1

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