Calcule a derivada da seguinte função:
f(x)=cos ^3 x^3

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x) = cos^3(x^3). O conteúdo principal aqui é derivação usando a regra da cadeia em várias camadas.

Passo 2

Vamos definir duas substituições intermediárias para aplicar a regra da cadeia de forma organizada:
Seja u = x^3 e v = cos(u). Então podemos reescrever f(x) como f(x) = v^3.

Passo 3

Derivando f em relação a x usando regra da cadeia para v^3:
dfdx = 3,v^2 cdot dvdx

Passo 4

Agora precisamos de dv/dx. Primeiro derivamos v = cos(u) em relação a u e depois u em relação a x:
dvdu = -sin(u), dudx = 3x^2
Portanto
dvdx = dvducdotdudx = -sin(u) cdot 3x^2

Passo 5

Substituindo v = cos(u) e u = x^3 em df/dx:
dfdx = 3,l(cos(x^3)r)^2 cdot l[-sin(x^3) cdot 3x^2r]
Simplificando, chegamos a:

Passo 6

dfdx = -9x^2,l(cos(x^3)r)^2,sin(x^3)

Resposta

-9x^2,cos^2(x^3),sin(x^3)

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